- Um tanque com capacidade de 20 litros está completamente cheio de água. Em determina- do momento, abre-se uma torneira que o esva- zia, segundo uma vazão de 2 litros por minuto. a) Escreva a lei de formação da função que re- presenta o volume de água V, em litro, que resta no tanque em relação ao tempo t, em minuto, até que o tanque fique vazio. b) Em quanto tempo o tanque ficará vazio? c) Quais valores t pode assumir nessa função? Qual é o domínio da função V? d) O valor V = 30 faz parte do conjunto ima- gem dessa função? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos um tanque que pode segurar até 20 litros de água e está cheio. Em um certo momento, abre-se uma torneira que está vazando água a uma taxa de 2 litros por minuto. A gente precisa:
a) Escrever uma função que mostre quanto de água resta no tanque ao longo do tempo.
b) Descobrir em quanto tempo o tanque ficará totalmente vazio.
c) Identificar quais valores o tempo pode assumir nessa função, ou seja, qual é o domínio da função.
d) Verificar se o valor 30 litros está dentro do conjunto de possíveis volumes de água nessa função.
b) Descobrir em quanto tempo o tanque ficará totalmente vazio.
c) Identificar quais valores o tempo pode assumir nessa função, ou seja, qual é o domínio da função.
d) Verificar se o valor 30 litros está dentro do conjunto de possíveis volumes de água nessa função.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções lineares, taxa de variação e domínio de funções.
Passo 2
Vamos começar pela parte a). Queremos uma função que representa o volume de água $ V $ no tanque em relação ao tempo $ t $.
Sabemos que a água está vazando a uma taxa constante de 2 litros por minuto. Isso significa que, a cada minuto, o volume de água no tanque diminui 2 litros. Portanto, estamos lidando com uma função linear, onde o volume depende diretamente do tempo.
A função pode ser escrita da seguinte forma:
Onde:
- $ V(t) $ é o volume de água no tempo $ t $.
- $ V_0 $ é o volume inicial de água no tanque (20 litros).
- $ v $ é a taxa de vazão (2 litros por minuto).
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): em quanto tempo o tanque ficará vazio.
Queremos saber quando o volume de água $ V(t) $ será igual a zero:
Vamos resolver essa equação para $ t $:
Então, o tanque ficará vazio após 10 minutos.
Passo 4
Chegamos à parte c): quais valores $ t $ pode assumir nessa função? Qual é o domínio da função $ V $?
Como o tempo não pode ser negativo (não faz sentido ter um tempo negativo nesse contexto), $ t $ deve ser maior ou igual a zero. Além disso, o tanque ficará vazio após 10 minutos, então o tempo máximo que faz sentido considerar é 10 minutos.
Portanto, o domínio da função $ V(t) $ é:
Passo 5
Finalmente, na parte d): o valor $ V = 30 $ faz parte do conjunto imagem dessa função? Justifique sua resposta.
Olhemos para a nossa função:
Queremos saber se existe algum $ t $ dentro do domínio $ 0 \leq t \leq 10 $ que satisfaça $ V(t) = 30 $:
Encontramos $ t = -5 $, mas como $ t $ deve ser entre 0 e 10 minutos, não existe nenhum tempo positivo que faça o volume ser 30 litros. Além disso, o volume inicial é 20 litros, então nunca chega a 30 litros.
Resposta
a) A função que representa o volume de água no tanque em relação ao tempo é $ V(t) = 20 - 2t $.
b) O tanque ficará vazio após 10 minutos.
c) O tempo $ t $ pode variar de 0 a 10 minutos. Portanto, o domínio da função é $ 0 \leq t \leq 10 $.
d) O valor $ V = 30 $ não faz parte do conjunto imagem dessa função, pois o volume máximo inicial é 20 litros e nunca alcança 30 litros.