Dados dois eventos, A e B, em um determinado espaço amostral, no qual P(A) = 0,2, P(B) = t, P(A ∪ B) = 0,1 e P(A ∩ B) = 0,4. Considere as afirmações abaixo: I. O valor de t é o dobro do valor de P(A). II. P(B) assume valor igual ao triplo do valor de P(A ∪ B). III. O valor numérico de t é igual a 0,3. IV. O valor de P(A) é igual o valor de P(B). Das afirmações acima, temos: a. Apenas três corretas. b. Apenas uma correta. c. Apenas duas corretas. d. Todas afirmativas estão corretas. e. Nenhuma das afirmativas estão corretas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos dois eventos, A e B, com as seguintes probabilidades:
- $ P(A) = 0,2 $
- $ P(B) = t $
- $ P(A \cup B) = 0,1 $
- $ P(A \cap B) = 0,4 $
Nosso objetivo é verificar quais das afirmações I, II, III e IV estão corretas com base nesses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da probabilidade da união de dois eventos:
Vamos substituir os valores que temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver para encontrar o valor de $ t $:
Então, encontramos que $ t = 0,3 $.
Passo 4
Vamos analisar cada afirmação:
I. O valor de t é o dobro do valor de P(A).
- Calculando o dobro de $ P(A) $: $ 2 \times 0,2 = 0,4 $
- Comparando com $ t = 0,3 $: não é igual
- Esta afirmação está errada.
II. P(B) assume valor igual ao triplo do valor de P(A ∪ B).
- Calculando o triplo de $ P(A \cup B) $: $ 3 \times 0,1 = 0,3 $
- Comparando com $ t = 0,3 $: são iguais
- Esta afirmação está certa.
III. O valor numérico de t é igual a 0,3.
- Já calculamos que $ t = 0,3 $
- Esta afirmação está certa.
IV. O valor de P(A) é igual o valor de P(B).
- $ P(A) = 0,2 $ e $ P(B) = 0,3 $: não são iguais
- Esta afirmação está errada.
Passo 5
Resumindo as análises:
- Afirmação I: Errada
- Afirmação II: Certa
- Afirmação III: Certa
- Afirmação IV: Errada
Então, temos duas afirmações corretas.
Resposta
c. Apenas duas corretas.