Dados dois eventos, A e B, em um determinado espaço amostral, no qual P(A) = 0,2, P(B) = t, P(A ∪ B) = 0,1 e P(A ∩ B) = 0,4. Considere as afirmações abaixo: I. O valor de t é o dobro do valor de P(A). II. P(B) assume valor igual ao triplo do valor de P(A ∪ B). III. O valor numérico de t é igual a 0,3. IV. O valor de P(A) é igual o valor de P(B). Das afirmações acima, temos: a. Apenas três corretas. b. Apenas uma correta. c. Apenas duas corretas. d. Todas afirmativas estão corretas. e. Nenhuma das afirmativas estão corretas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos dois eventos, A e B, com as seguintes probabilidades:
  • $ P(A) = 0,2 $
  • $ P(B) = t $
  • $ P(A \cup B) = 0,1 $
  • $ P(A \cap B) = 0,4 $
Nosso objetivo é verificar quais das afirmações I, II, III e IV estão corretas com base nesses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da probabilidade da união de dois eventos:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Vamos substituir os valores que temos:
0,1 = 0,2 + t - 0,4

Passo 3

Agora, vamos resolver para encontrar o valor de $ t $:
t
0,1 = 0,2 + t - 0,4
0,1 = t - 0,2
t = 0,1 + 0,2
Então, encontramos que $ t = 0,3 $.

Passo 4

Vamos analisar cada afirmação:
I. O valor de t é o dobro do valor de P(A).
  • Calculando o dobro de $ P(A) $: $ 2 \times 0,2 = 0,4 $
  • Comparando com $ t = 0,3 $: não é igual
  • Esta afirmação está errada.
II. P(B) assume valor igual ao triplo do valor de P(A ∪ B).
  • Calculando o triplo de $ P(A \cup B) $: $ 3 \times 0,1 = 0,3 $
  • Comparando com $ t = 0,3 $: são iguais
  • Esta afirmação está certa.
III. O valor numérico de t é igual a 0,3.
  • Já calculamos que $ t = 0,3 $
  • Esta afirmação está certa.
IV. O valor de P(A) é igual o valor de P(B).
  • $ P(A) = 0,2 $ e $ P(B) = 0,3 $: não são iguais
  • Esta afirmação está errada.

Passo 5

Resumindo as análises:
  • Afirmação I: Errada
  • Afirmação II: Certa
  • Afirmação III: Certa
  • Afirmação IV: Errada
Então, temos duas afirmações corretas.

Resposta

c. Apenas duas corretas.

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