A carga axial de uma lata de alumínio é o peso máximo suportado por seus lados . É importante termos uma carga axial suficientemente grande a fim de a lata não ceder quando se coloca a tampa sob pressão. As latas menos espessas têm a vantagem óbvia de utilizar menos material, mas não são tão resistentes quanto as mais espessas. A tabela abaixo apresenta as cargas axiais, em libras, de uma amostra destas latas.
Carga Axial
200 ├ 210
210 ├ 220
220 ├ 230
230 ├ 240
240 ├ 250
250 ├ 260
Frequência
9
4
14
32
52
38
calcule o desvio-padrão da amostra.
A) 13,6 B) 12.6 C) 14.6 D) 15,6 E) 16,6 ​

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular o desvio-padrão de uma amostra de cargas axiais de latas de alumínio. O desvio-padrão é uma medida que mostra o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a média, a variância e, por fim, o desvio-padrão usando os dados que temos na tabela de frequências.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a média das cargas axiais. Como os valores estão em intervalos, vamos usar o ponto médio de cada intervalo como representação do valor para calcular a média.

Passo 3

Vamos calcular o ponto médio de cada intervalo. O ponto médio é a média dos limites inferior e superior de cada classe.
Carga Axial (lb) Frequência (f) Ponto Médio (x) = (Inf + Sup)/2
200 ├ 210 9 (200 + 210)/2 = 205
210 ├ 220 4 (210 + 220)/2 = 215
220 ├ 230 14 (220 + 230)/2 = 225
230 ├ 240 32 (230 + 240)/2 = 235
240 ├ 250 52 (240 + 250)/2 = 245
250 ├ 260 38 (250 + 260)/2 = 255

Passo 4

Agora, vamos calcular a média (𝑥̄) usando a fórmula:
barx = sum (f times x)sum f
Onde:
  • $ f $ é a frequência de cada classe
  • $ x $ é o ponto médio de cada classe
Vamos multiplicar cada frequência pelo seu ponto médio e somar tudo.
f
x
Agora, somamos todas as frequências:
sum (f times x) = (9 times 205) + (4 times 215) + (14 times 225) + (32 times 235) + (52 times 245) + (38 times 255)
Então, a média é:
sum (f times x) = 1845 + 860 + 3150 + 7520 + 12740 + 9690 = 33785

Passo 5

Com a média encontrada, vamos calcular a variância (σ²), que é a média dos quadrados das diferenças entre cada ponto médio e a média geral, ponderada pelas frequências. A fórmula é:
sigma^2 = sum f times (x - barx)^2sum f
Primeiro, vamos calcular $ (x - \bar{x})^2 $ para cada classe.
Ponto Médio (x) f $ x - \bar{x} $ $ (x - \bar{x})^2 $ $ f \times (x - \bar{x})^2 $
205 9 205 - 226,63 = -21,63 468,49 9 × 468,49 ≈ 4216,41
215 4 215 - 226,63 = -11,63 135,37 4 × 135,37 ≈ 541,48
225 14 225 - 226,63 = -1,63 2,66 14 × 2,66 ≈ 37,24
235 32 235 - 226,63 = 8,37 69,93 32 × 69,93 ≈ 2237,76
245 52 245 - 226,63 = 18,37 336,58 52 × 336,58 ≈ 17490,16
255 38 255 - 226,63 = 28,37 805,43 38 × 805,43 ≈ 30606,34
Agora, somamos todos os $ f \times (x - \bar{x})^2 $:
(x - barx)^2
Agora, calculamos a variância:
x - barx

Passo 6

Finalmente, o desvio-padrão (σ) é a raiz quadrada da variância:
sigma = raiz370,63 approx 19,25

Resposta

Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao desvio-padrão calculado, que é aproximadamente 19,25. Parece que houve algum erro nos cálculos ou nas opções fornecidas. Recomendo revisar os passos ou verificar os dados do exercício.

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