Numa manhã, ntuito cedo começou a nevar a uma taxa constante. As 7:00 h, um limpador de neve começou a limpar uma estrada. As 8:00 h, tinha percorrido duas milhas, mas levou mais duas horas (até às 10:00 h) para o limpador avançar duas milhas adicionaîs. (a) Seja
quando começou a nevar e seja
a distância percorrida pelo limpador até o instante
. Assumindo-se que o limpador de neve limpou neve da estrada a uma taxa constante (digamos, em pés cúbicos por hora), mostre que
onde
é uma constante. (b) A que horas começou a nevar? (Resposta: 6:00 horas).
Passo 1
O enunciado descreve um limpador de neve que remove neve de estrada a taxa constante de volume e a neve cai a taxa constante de altura. Definimos
quando começou a nevar, e
a distância limpa até o instante
. Vamos relacionar a taxa de limpeza
com a profundidade de neve acumulada e usar condições dadas: entre 7 h e 8 h percorreu 2 milhas, e entre 8 h e 10 h mais 2 milhas. Nosso objetivo em (a) é obter a equação diferencial e em (b) achar o instante em que começou a nevar.
Passo 2
Seja
a profundidade de neve na estrada, cresce linearmente pois a neve cai a vazão constante em altura. Logo
onde
é a taxa de queda (altura por hora). A máquina limpa volume de neve a taxa constante
(em pés cúbicos por hora). Se a estrada tem largura
, então em um tempo infinitesimal
ela avança
limpando volume
Esse volume deve ser removido pela máquina em
, ou seja
Rearranjando,
Definindo
, obtemos
como queríamos.
Passo 3
Para resolver a parte (b), integramos
Supondo que o limpador iniciou a limpeza exatamente às 7:00 e aí
. Seja
o valor de
às 7:00 (número de horas desde o início da nevasca). Então
Assim para
,
Passo 4
Entre 7:00 e 8:00 a máquina percorreu 2 milhas, ou seja entre
e
:
Entre 8:00 e 10:00 (de
a
) percorreu também 2 milhas:
Como ambas valem 2, igualamos os argumentos dos
:
Logo
hora antes das 7:00, ou seja, a nevasca começou às 6:00.
Resposta
A nevasca começou às 6:00 horas.