Numa manhã, ntuito cedo começou a nevar a uma taxa constante. As 7:00 h, um limpador de neve começou a limpar uma estrada. As 8:00 h, tinha percorrido duas milhas, mas levou mais duas horas (até às 10:00 h) para o limpador avançar duas milhas adicionaîs. (a) Seja t=0 quando começou a nevar e seja x a distância percorrida pelo limpador até o instante t. Assumindo-se que o limpador de neve limpou neve da estrada a uma taxa constante (digamos, em pés cúbicos por hora), mostre que
k \frac{d x}{d t}=\frac{1}{t},
onde k é uma constante. (b) A que horas começou a nevar? (Resposta: 6:00 horas).

Passo 1

O enunciado descreve um limpador de neve que remove neve de estrada a taxa constante de volume e a neve cai a taxa constante de altura. Definimos t=0 quando começou a nevar, e x(t) a distância limpa até o instante t. Vamos relacionar a taxa de limpeza \dot x com a profundidade de neve acumulada e usar condições dadas: entre 7 h e 8 h percorreu 2 milhas, e entre 8 h e 10 h mais 2 milhas. Nosso objetivo em (a) é obter a equação diferencial e em (b) achar o instante em que começou a nevar.

Passo 2

Seja h(t) a profundidade de neve na estrada, cresce linearmente pois a neve cai a vazão constante em altura. Logo
h(t)=\alpha\,t,
onde \alpha é a taxa de queda (altura por hora). A máquina limpa volume de neve a taxa constante Q (em pés cúbicos por hora). Se a estrada tem largura w, então em um tempo infinitesimal dt ela avança dx limpando volume
\text{vol} = w\,h(t)\,dx = w\,\alpha\,t\,dx.
Esse volume deve ser removido pela máquina em dt, ou seja
Q\,dt = w\,\alpha\,t\,dx.
Rearranjando,
\frac{dx}{dt} = \frac{Q}{w\,\alpha}\,\frac{1}{t}.
Definindo k = \frac{w\,\alpha}{Q}, obtemos
k\,\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t},
como queríamos.

Passo 3

Para resolver a parte (b), integramos
\frac{dx}{dt} = \frac{1}{k\,t}
x(t)=\frac{1}{k}\ln t + C.
Supondo que o limpador iniciou a limpeza exatamente às 7:00 e aí x=0. Seja T_0 o valor de t às 7:00 (número de horas desde o início da nevasca). Então
0 = x(T_0)=\frac{1}{k}\ln T_0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{1}{k}\ln T_0.
Assim para t\ge T_0,
x(t)=\frac{1}{k}\bigl(\ln t - \ln T_0\bigr) =\frac{1}{k}\ln\frac{t}{T_0}.

Passo 4

Entre 7:00 e 8:00 a máquina percorreu 2 milhas, ou seja entre t=T_0 e t=T_0+1:
x(T_0+1)-x(T_0) =\frac{1}{k}\ln\frac{T_0+1}{T_0}=2.
Entre 8:00 e 10:00 (de t=T_0+1 a t=T_0+3) percorreu também 2 milhas:
x(T_0+3)-x(T_0+1) =\frac{1}{k}\ln\frac{T_0+3}{T_0+1}=2.
Como ambas valem 2, igualamos os argumentos dos \ln:
\frac{T_0+1}{T_0}=\frac{T_0+3}{T_0+1} \quad\Longrightarrow\quad (T_0+1)^2=T_0(T_0+3) \quad\Longrightarrow\quad T_0=1.
Logo T_0=1 hora antes das 7:00, ou seja, a nevasca começou às 6:00.

Resposta

A nevasca começou às 6:00 horas.

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