Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para leste a 95 k m / h e o outro para o norte com velocidade de 65 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. A que taxa está aumentando a distância entre os dois carros duas horas depois da partida?
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre duas velocidades (peguei esses números do enunciado) e pede a taxa de variação da distância entre os carros após duas horas. Mais precisamente:
Um carro vai para leste com velocidade 95\\ \mathrm{km/h}.
O outro vai para norte com velocidade 65\\ \mathrm{km/h}.
Quer-se saber a que taxa está aumentando a distância entre os dois carros quando se passaram 2 horas desde a partida.
Passo 2
Definições de variáveis (muito importante marcar direitinho para derivar depois):
Seja x(t) a distância (em km) do ponto de partida medida para leste percorrida pelo carro que vai para leste no tempo t (em horas).
Seja y(t) a distância (em km) do ponto de partida medida para norte percorrida pelo carro que vai para norte no tempo t.
Seja s(t) a distância (em km) entre os dois carros no tempo t.
Também anotamos as velocidades dadas (derivadas das posições):
\dfrac{dx}{dt}=95\\ \mathrm{km/h}.
\dfrac{dy}{dt}=65\\ \mathrm{km/h}.
Passo 3
Relacionamento geométrico entre x, y e s: como um carro vai para leste e o outro para norte formando um ângulo de 90^\circ, a distância entre eles é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Pelo teorema de Pitágoras:
s^{2}=x^{2}+y^{2}.
Breve lembrando o que isto significa: se você tem dois catetos com comprimentos x e y, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos — é por isso que usamos essa relação aqui.
Passo 4
Como queremos a taxa de variação da distância entre os carros, queremos \dfrac{ds}{dt}. Para achar isso, diferenciamos a relação s^{2}=x^{2}+y^{2} em relação ao tempo t. Diferenciar é aplicar a derivada termo a termo; usando a regra da cadeia e a linearidade da derivada obtemos:
Explicando em palavras: a taxa de variação da hipotenusa é uma média ponderada das taxas dos catetos, com os pesos sendo as próprias posições x e y, tudo dividido pelo comprimento atual s.
Passo 5
Agora calculamos x(t) e y(t) no tempo t=2\\ \mathrm{h}. Como cada carro parte do ponto em t=0 e anda a velocidade constante:
Essa é a forma exata. Para um valor numérico aproximado (útil para interpretar a resposta), calcula-se a raiz e a divisão — o resultado numérico será apresentado na seção final.