Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para leste a 95 k m / h e o outro para o norte com velocidade de 65 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. A que taxa está aumentando a distância entre os dois carros duas horas depois da partida?

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre duas velocidades (peguei esses números do enunciado) e pede a taxa de variação da distância entre os carros após duas horas. Mais precisamente:
  • Um carro vai para leste com velocidade 95\\ \mathrm{km/h}.
  • O outro vai para norte com velocidade 65\\ \mathrm{km/h}.
  • Quer-se saber a que taxa está aumentando a distância entre os dois carros quando se passaram 2 horas desde a partida.

Passo 2

Definições de variáveis (muito importante marcar direitinho para derivar depois):
  • Seja x(t) a distância (em km) do ponto de partida medida para leste percorrida pelo carro que vai para leste no tempo t (em horas).
  • Seja y(t) a distância (em km) do ponto de partida medida para norte percorrida pelo carro que vai para norte no tempo t.
  • Seja s(t) a distância (em km) entre os dois carros no tempo t.
Também anotamos as velocidades dadas (derivadas das posições):
  • \dfrac{dx}{dt}=95\\ \mathrm{km/h}.
  • \dfrac{dy}{dt}=65\\ \mathrm{km/h}.

Passo 3

Relacionamento geométrico entre x, y e s: como um carro vai para leste e o outro para norte formando um ângulo de 90^\circ, a distância entre eles é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Pelo teorema de Pitágoras:
s^{2}=x^{2}+y^{2}.
Breve lembrando o que isto significa: se você tem dois catetos com comprimentos x e y, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos — é por isso que usamos essa relação aqui.

Passo 4

Como queremos a taxa de variação da distância entre os carros, queremos \dfrac{ds}{dt}. Para achar isso, diferenciamos a relação s^{2}=x^{2}+y^{2} em relação ao tempo t. Diferenciar é aplicar a derivada termo a termo; usando a regra da cadeia e a linearidade da derivada obtemos:
\frac{d}{dt}\big(s^{2}\big)=\frac{d}{dt}\big(x^{2}+y^{2}\big).
Calculando cada lado:
2s\frac{ds}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}.
Dividindo ambos os lados por 2s (isso é válido desde que s\neq0, e aqui s>0 para t>0):
\frac{ds}{dt}=\frac{x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}}{s}.
Explicando em palavras: a taxa de variação da hipotenusa é uma média ponderada das taxas dos catetos, com os pesos sendo as próprias posições x e y, tudo dividido pelo comprimento atual s.

Passo 5

Agora calculamos x(t) e y(t) no tempo t=2\\ \mathrm{h}. Como cada carro parte do ponto em t=0 e anda a velocidade constante:
x(t)=95t,\qquad y(t)=65t.
Portanto, em t=2:
x(2)=95\cdot 2=190\\ \mathrm{km},
y(2)=65\cdot 2=130\\ \mathrm{km}.

Passo 6

Calcular s(2) usando Pitágoras:
s(2)=\sqrt{x(2)^{2}+y(2)^{2}}=\sqrt{190^{2}+130^{2}}.
Fazendo as contas:
190^{2}=36100,\qquad 130^{2}=16900,
36100+16900=53000,
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s(2)=\sqrt{53000}=10\sqrt{530}.

Passo 7

Calcular o numerador da fórmula de \dfrac{ds}{dt} em t=2:
x(2)\frac{dx}{dt}+y(2)\frac{dy}{dt}=190\cdot 95 + 130\cdot 65.
Fazendo as multiplicações com passos:
190\cdot 95=190\cdot(100-5)=19000-950=18050,
130\cdot 65=130\cdot(60+5)=7800+650=8450,
18050+8450=26500.

Passo 8

Substituindo na fórmula para \dfrac{ds}{dt} (usando as expressões que já achamos):
\frac{ds}{dt}\Big|_{t=2}=\frac{26500}{s(2)}=\frac{26500}{\sqrt{53000}}.
Podemos simplificar um fator 10:
\frac{26500}{\sqrt{53000}}=\frac{2650}{\sqrt{530}}.
Essa é a forma exata. Para um valor numérico aproximado (útil para interpretar a resposta), calcula-se a raiz e a divisão — o resultado numérico será apresentado na seção final.

Resposta

\dfrac{26500}{\sqrt{53000}}\\ \mathrm{km/h}\approx 115,17\\ \mathrm{km/h}

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