Um tanque tem a forma de um cone invertido com
de altura e uma base de
de raio. A água é despejada dentro do tanque a uma taxa de
. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de
?
Passo 1
O enunciado pede a rapidez com que o nível da água sobe num tanque em forma de cone invertido quando a profundidade da água é
. Dados fornecidos:
- Altura total do cone:
. - Raio da base do cone (quando cheio):
. - Taxa de variação do volume da água:
(água entrando, logo positivo). - Queremos encontrar
quando , onde é a profundidade (altura) da coluna de água no cone.
Passo 2
Definir variáveis e fórmula do volume:
- Seja
a profundidade da água em metros no instante . - Seja
o raio da superfície livre da água em metros no instante . - O volume da água, que tem a forma de um cone, é dado por
Explicação rápida: essa fórmula vem da geometria do cone;
é a constante,
é o raio da base do cone de água e
sua altura.
Passo 3
Relacionar
e
usando semelhança de triângulos:
O cone do tanque tem proporção entre raio e altura dada por . Para o cone formado pela água vale a mesma razão entre
e
:
O cone do tanque tem proporção entre raio e altura dada por
Explicação: todas as seções transversais são parecidas, então a relação entre raio e altura se mantém para a água em qualquer nível.
Passo 4
Expressar
apenas em função de
substituindo
na fórmula do volume:
Aqui usei álgebra simples:
e multiplicando por
obtém-se
.
Passo 5
Derivar em relação ao tempo
para relacionar
e
.
Aplicando a regra da cadeia e a regra do poder (derivada de é
):
Aplicando a regra da cadeia e a regra do poder (derivada de
Explicação: constante multiplicativa sai da derivada e a derivada de
é
vezes
porque
depende do tempo.
Passo 6
Isolar
e substituir os valores numéricos
e
:
Substituindo:
Cálculo aproximado (para intuir o valor):
Interpretação: a derivada positiva indica que o nível da água está subindo; o valor significa que a água sobe cerca de
por minuto naquele instante.