Um tanque tem a forma de um cone invertido com 20 m de altura e uma base de 5 m de raio. A água é despejada dentro do tanque a uma taxa de 3 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m ?

Passo 1

O enunciado pede a rapidez com que o nível da água sobe num tanque em forma de cone invertido quando a profundidade da água é 5\\ \mathrm{m}. Dados fornecidos:
  • Altura total do cone: H=20\\ \mathrm{m}.
  • Raio da base do cone (quando cheio): R=5\\ \mathrm{m}.
  • Taxa de variação do volume da água: \dfrac{dV}{dt}=3\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{min} (água entrando, logo positivo).
  • Queremos encontrar \dfrac{dh}{dt} quando h=5\\ \mathrm{m}, onde h é a profundidade (altura) da coluna de água no cone.

Passo 2

Definir variáveis e fórmula do volume:
  • Seja h(t) a profundidade da água em metros no instante t.
  • Seja r(t) o raio da superfície livre da água em metros no instante t.
  • O volume da água, que tem a forma de um cone, é dado por
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.
Explicação rápida: essa fórmula vem da geometria do cone; \pi é a constante, r é o raio da base do cone de água e h sua altura.

Passo 3

Relacionar r e h usando semelhança de triângulos:
O cone do tanque tem proporção entre raio e altura dada por \dfrac{R}{H}=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}. Para o cone formado pela água vale a mesma razão entre r e h:
\frac{r}{h}=\frac{R}{H}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{h}{4}.
Explicação: todas as seções transversais são parecidas, então a relação entre raio e altura se mantém para a água em qualquer nível.

Passo 4

Expressar V apenas em função de h substituindo r=\dfrac{h}{4} na fórmula do volume:
V=\frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{4}\right)^{2} h =\frac{1}{3}\pi \frac{h^{2}}{16} h =\frac{\pi}{48}\,h^{3}.
Aqui usei álgebra simples: \left(\dfrac{h}{4}\right)^{2} = \dfrac{h^{2}}{16} e multiplicando por h obtém-se h^{3}.

Passo 5

Derivar em relação ao tempo t para relacionar \dfrac{dV}{dt} e \dfrac{dh}{dt}.
Aplicando a regra da cadeia e a regra do poder (derivada de h^{3} é 3h^{2}\,dh/dt):
\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{48}\cdot 3h^{2}\frac{dh}{dt} =\frac{\pi}{16}\,h^{2}\frac{dh}{dt}.
Explicação: constante multiplicativa sai da derivada e a derivada de h^{3} é 3h^{2} vezes dh/dt porque h depende do tempo.

Passo 6

Isolar \dfrac{dh}{dt} e substituir os valores numéricos \dfrac{dV}{dt}=3 e h=5:
\frac{dh}{dt}=\frac{1}{\frac{\pi}{16}h^{2}}\frac{dV}{dt} =\frac{16}{\pi h^{2}}\frac{dV}{dt}.
Substituindo:
\frac{dh}{dt}=\frac{16}{\pi\cdot 5^{2}}\cdot 3 =\frac{16\cdot 3}{25\pi} =\frac{48}{25\pi}\\ \mathrm{m/min}.
Cálculo aproximado (para intuir o valor):
\frac{48}{25\pi}\approx \frac{1,92}{\pi}\approx 0,611\\ \mathrm{m/min}.
Interpretação: a derivada positiva indica que o nível da água está subindo; o valor significa que a água sobe cerca de 0,611\\ \mathrm{m} por minuto naquele instante.

Resposta

\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{48}{25\pi}\\ \mathrm{m/min}\approx 0,611\\ \mathrm{m/min}

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