Um tanque é composto por um cilindro de altura
Calcule a massa de carvão que preenche o tanque usando Pappus-Guldinus.

Passo 1

O enunciado pede a massa de carvão que preenche um tanque formado pela união de um cilindro de altura h=1 m e de um hemisfério de raio b=2 m, sabendo que a densidade do carvão é rho=700 kg/m^3. Vamos usar o Teorema de Pappus–Guldinus para obter o volume de cada parte e depois m=rho V.

Passo 2

O Teorema de Pappus–Guldinus (segunda lei) diz que o volume gerado pela revolução completa ( theta=2pi) de uma região plana de área A em torno de um eixo coplanar externo é
V = A times (comprimento do caminho do centróide) = A ,theta, dc = A,(2pi),dc ó
onde dc é a distância do centróide da região até o eixo de rotação.

Passo 3

Cálculo do volume do cilindro por Pappus:
– Região geradora: retângulo de base b e altura h.
– Área do retângulo:
Arm ret = b , h
– Distância do centróide ao eixo (reta vertical em uma das bases):
dc = b2
Aplicando Pappus ( theta=2pi):
Vrm cil = Arm ret,(2pi),dc = (b,h),(2pi),b2 = pi,b^2,h

Passo 4

Cálculo do volume da esfera por Pappus e obtenção da semi-esfera:
– Região geradora para a esfera: semicircular de raio b.
– Área do semicírculo:
Arm semi = 12,pi,b^2
– Distância do centróide do semicírculo (a partir da reta diametral) até o eixo:
dc = 4,b3pi
Volume da esfera completa:
Vrm esfer = Arm semi,(2pi),dc = 12pi b^2;times2pi;times4b3pi = 43,pi,b^3
Logo o volume do hemisfério é metade disso:
Vrm hemi = 12,Vrm esfer = 23,pi,b^3

Passo 5

Substituindo b=2 m e h=1 m:
Vrm cil = pi,(2)^2,(1) = 4pi, Vrm hemi = 23,pi,(2)^3 = 163,pi
Volume total
V = Vrm cil + Vrm hemi = 4pi + 163pi = 283,pi approx 29,32 m^3

Passo 6

Massa de carvão:
m = rho,V = 700 times 283,pi approx 2,05times10^4 kg

Resposta

A massa de carvão que preenche o tanque é aproximadamente 2,05times10^4 kg.

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