Um tanque é composto por um cilindro de altura
Calcule a massa de carvão que preenche o tanque usando Pappus-Guldinus.
Calcule a massa de carvão que preenche o tanque usando Pappus-Guldinus.
Passo 1
O enunciado pede a massa de carvão que preenche um tanque formado pela união de um cilindro de altura
e de um hemisfério de raio
, sabendo que a densidade do carvão é
. Vamos usar o Teorema de Pappus–Guldinus para obter o volume de cada parte e depois
.
Passo 2
O Teorema de Pappus–Guldinus (segunda lei) diz que o volume gerado pela revolução completa (
) de uma região plana de área
em torno de um eixo coplanar externo é
onde
é a distância do centróide da região até o eixo de rotação.
Passo 3
Cálculo do volume do cilindro por Pappus:
– Região geradora: retângulo de base e altura
.
– Área do retângulo:
– Região geradora: retângulo de base
– Área do retângulo:
– Distância do centróide ao eixo (reta vertical em uma das bases):
Aplicando Pappus (
):
Passo 4
Cálculo do volume da esfera por Pappus e obtenção da semi-esfera:
– Região geradora para a esfera: semicircular de raio .
– Área do semicírculo:
– Região geradora para a esfera: semicircular de raio
– Área do semicírculo:
– Distância do centróide do semicírculo (a partir da reta diametral) até o eixo:
Volume da esfera completa:
Logo o volume do hemisfério é metade disso:
Passo 5
Substituindo
e
:
Volume total
Passo 6
Massa de carvão:
Resposta
A massa de carvão que preenche o tanque é aproximadamente
.