O custo marginal de fabricação de
metros de certo tecido é
(em dólares por metro). Ache o aumento do custo se o nível de produção for elevado de 2000 para 4000 metros.
Passo 1
O enunciado dá a taxa marginal de custo e pede o aumento do custo quando a produção sobe de
para
metros. Vou interpretar a função marginal como
onde
é a quantidade produzida em metros e
está em dólares por metro. A pergunta é: qual é
, ou seja, quanto o custo total aumenta ao passar de
para
?
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): o custo marginal
é a derivada do custo total
. A relação entre derivada e integral diz que a variação do custo total entre dois níveis
e
é a integral definida da taxa marginal entre esses níveis. Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo e se escreve
Aqui
e
. A unidade da integral será dólares, porque estamos integrando dólares por metro ao longo de metros.
Passo 3
Montamos a integral que representa o aumento do custo:
Vou calcular essa integral de forma passo a passo, integrando termo a termo.
Passo 4
Integral termo a termo (mostrando a técnica):
porque a integral de uma constante
é
. Em geral,
.
pois
.
pois
.
Somando, um antiderivado (uma primitiva) é
Somando, um antiderivado (uma primitiva) é
onde
é uma constante. Para a integral definida,
cancela, então podemos usar a expressão sem precisar conhecer
.
Passo 5
Avaliação no limite superior
. Faço cada termo com cuidado:
logo o termo quadrático é
.
logo o termo cúbico é
.
Somando:
Somando:
Passo 6
Avaliação no limite inferior
. De novo, passo a passo:
então o termo quadrático é
.
então o termo cúbico é
.
Somando:
Somando:
Passo 7
Diferença entre os valores avaliados:
Interpretação: o custo total aumenta em
dólares ao elevar a produção de
para
metros.