O custo marginal de fabricação de x metros de certo tecido é C^{\prime}(x)=3-0,001+0,000006 x^{2} (em dólares por metro). Ache o aumento do custo se o nível de produção for elevado de 2000 para 4000 metros.

Passo 1

O enunciado dá a taxa marginal de custo e pede o aumento do custo quando a produção sobe de 2000 para 4000 metros. Vou interpretar a função marginal como
C'(x)=3-0,001x+0,000006x^{2},
onde x é a quantidade produzida em metros e C'(x) está em dólares por metro. A pergunta é: qual é \Delta C=C(4000)-C(2000), ou seja, quanto o custo total aumenta ao passar de x=2000 para x=4000?

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o custo marginal C'(x) é a derivada do custo total C(x). A relação entre derivada e integral diz que a variação do custo total entre dois níveis a e b é a integral definida da taxa marginal entre esses níveis. Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo e se escreve
\Delta C=\int_{a}^{b} C'(x)\,dx=C(b)-C(a).
Aqui a=2000 e b=4000. A unidade da integral será dólares, porque estamos integrando dólares por metro ao longo de metros.

Passo 3

Montamos a integral que representa o aumento do custo:
\Delta C=\int_{2000}^{4000}\bigl(3-0,001x+0,000006x^{2}\bigr)\,dx.
Vou calcular essa integral de forma passo a passo, integrando termo a termo.

Passo 4

Integral termo a termo (mostrando a técnica):
\int 3\,dx=3x,
porque a integral de uma constante k é kx. Em geral, \int k\,dx=kx.
\int -0,001x\,dx=-0,001\int x\,dx=-0,001\cdot\frac{x^{2}}{2}=-0,0005x^{2},
pois \int x\,dx=x^{2}/2.
\int 0,000006x^{2}\,dx=0,000006\int x^{2}\,dx=0,000006\cdot\frac{x^{3}}{3}=0,000002x^{3},
pois \int x^{2}\,dx=x^{3}/3.
Somando, um antiderivado (uma primitiva) é
C(x)=3x-0,0005x^{2}+0,000002x^{3}+C_{0},
onde C_{0} é uma constante. Para a integral definida, C_{0} cancela, então podemos usar a expressão sem precisar conhecer C_{0}.

Passo 5

Avaliação no limite superior x=4000. Faço cada termo com cuidado:
3\cdot 4000 = 12000.
4000^{2}=16\,000\,000,\quad 0,0005\cdot 16\,000\,000 = 8\,000,
logo o termo quadrático é -8\,000.
4000^{3}=64\,000\,000\,000,\quad 0,000002\cdot 64\,000\,000\,000 = 128\,000,
logo o termo cúbico é +128\,000.
Somando:
C(4000)=12000-8000+128000=132000.

Passo 6

Avaliação no limite inferior x=2000. De novo, passo a passo:
3\cdot 2000 = 6000.
2000^{2}=4\,000\,000,\quad 0,0005\cdot 4\,000\,000 = 2\,000,
então o termo quadrático é -2\,000.
2000^{3}=8\,000\,000\,000,\quad 0,000002\cdot 8\,000\,000\,000 = 16\,000,
então o termo cúbico é +16\,000.
Somando:
C(2000)=6000-2000+16000=20000.

Passo 7

Diferença entre os valores avaliados:
\Delta C=C(4000)-C(2000)=132000-20000=112000.
Interpretação: o custo total aumenta em \;112000\; dólares ao elevar a produção de 2000 para 4000 metros.

Resposta

112000 dólares

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