Um tanque contém 1000 litros de água, e a água entra no tanque com uma concentração de 2 kg / L de sal. O volume de água no tanque é mantido constante com 10 litros por minuto entrando e saindo. A concentração de sal na água que sai do tanque é proporcional à concentração de sal no tanque. A equação diferencial que descreve a quantidade de sal Q(t) no tanque em função do tempo t é dada por:
d Qd t=10 times 2-101000 Q
onde:
  • Q(t) é a quantidade de sal (em kg ) no tanque no tempo t,
  • A taxa de entrada de sal é 10 times 2=20 kg / minuto ( 10 L / min com 2 kg / L ),
  • A taxa de saída de sal é proporcional à concentração de sal no tanque, dada por 101000 Q.
    Determine a solução Q(t) para a quantidade de sal no tanque após t minutos, sabendo que Q(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre um tanque com 1000 litros de água onde entra água com uma concentração de sal de 2, kg/L. A água entra e sai do tanque a uma taxa de 10 litros por minuto, mantendo o volume constante. Queremos descobrir quanto sal Q(t) tem no tanque em qualquer momento t. Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais, que nos ajudam a modelar como as quantidades mudam ao longo do tempo. Precisamos entender como a entrada e a saída de sal afetam a quantidade total no tanque.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a taxa de entrada de sal. A água que entra tem concentração de 2, kg/L e está entrando a 10 litros por minuto. Então, a quantidade de sal que entra por minuto é:
Taxa de entrada = 10, L/min times 2, kg/L = 20, kg/min

Passo 3

Agora, vamos ver a taxa de saída de sal. A água está saindo a 10 litros por minuto, e a concentração de sal na água que sai é a mesma que está no tanque, ou seja, Q(t)1000, kg/L porque o tanque tem 1000 litros. Então, a quantidade de sal que sai por minuto é:
Taxa de saída = 10, L/min times Q(t)1000, kg/L = 101000 Q(t) = 0.01, Q(t), kg/min í

Passo 4

A equação que relaciona a taxa de variação de Q(t) é dada pela diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída:
dQdt = Taxa de entrada - Taxa de saída = 20 - 0.01, Q(t) í
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver para encontrar Q(t).

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos primeiro rearranjá-la:
dQdt + 0.01, Q(t) = 20
Aqui, temos a forma padrão dQdt + P(t) Q = G(t), onde P(t) = 0.01 e G(t) = 20.

Passo 6

Precisamos encontrar um fator integrante, que é e^integral P(t), dt. Então:
integral P(t), dt = integral 0.01, dt = 0.01 t
Fator integrante = e^0.01 t

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^0.01 t dQdt + 0.01, e^0.01 t Q(t) = 20, e^0.01 t
A esquerda da equação agora é a derivada do produto e^0.01 t Q(t):
ddt( e^0.01 t Q(t) ) = 20, e^0.01 t

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a t:
integral ddt( e^0.01 t Q(t) ) dt = integral 20, e^0.01 t dt
e^0.01 t Q(t) = 200.01 e^0.01 t + C
e^0.01 t Q(t) = 2000, e^0.01 t + C

Passo 9

Para encontrar Q(t), isolamos ela:
Q(t) = 2000 + C, e^-0.01 t

Passo 10

Usamos a condição inicial Q(0) = 0 para encontrar a constante C:
0 = 2000 + C, e^0
0 = 2000 + C
C = -2000

Passo 11

Substituindo C na expressão geral de Q(t):
Q(t) = 2000 - 2000, e^-0.01 t
Q(t) = 2000 (1 - e^-0.01 t)

Resposta

A quantidade de sal no tanque após t minutos é:
Q(t) = 2000 (1 - e^-0.01 t), kg

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