Um tanque contém 1000 litros de água, e a água entra no tanque com uma concentração de
de sal. O volume de água no tanque é mantido constante com 10 litros por minuto entrando e saindo. A concentração de sal na água que sai do tanque é proporcional à concentração de sal no tanque. A equação diferencial que descreve a quantidade de sal
no tanque em função do tempo
é dada por:
onde:
-
é a quantidade de sal (em kg ) no tanque no tempo
,
- A taxa de entrada de sal é
minuto (
com
),
- A taxa de saída de sal é proporcional à concentração de sal no tanque, dada por
.
Determine a solução
para a quantidade de sal no tanque após
minutos, sabendo que
.
Determine a solução
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre um tanque com 1000 litros de água onde entra água com uma concentração de sal de
. A água entra e sai do tanque a uma taxa de 10 litros por minuto, mantendo o volume constante. Queremos descobrir quanto sal
tem no tanque em qualquer momento
. Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais, que nos ajudam a modelar como as quantidades mudam ao longo do tempo. Precisamos entender como a entrada e a saída de sal afetam a quantidade total no tanque.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a taxa de entrada de sal. A água que entra tem concentração de
e está entrando a 10 litros por minuto. Então, a quantidade de sal que entra por minuto é:
Passo 3
Agora, vamos ver a taxa de saída de sal. A água está saindo a 10 litros por minuto, e a concentração de sal na água que sai é a mesma que está no tanque, ou seja,
porque o tanque tem 1000 litros. Então, a quantidade de sal que sai por minuto é:
Passo 4
A equação que relaciona a taxa de variação de
é dada pela diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver para encontrar
.
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos primeiro rearranjá-la:
Aqui, temos a forma padrão
, onde
e
.
Passo 6
Precisamos encontrar um fator integrante, que é
. Então:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 9
Para encontrar
, isolamos ela:
Passo 10
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 11
Substituindo
na expressão geral de
:
Resposta
A quantidade de sal no tanque após
minutos é: