Utilizando o teorema da convolução, resolva:
y^prime prime+5 y^prime+4 y=2 e^-2 t, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y' + 4y = 2e^-2t, y(0)=0,;y'(0)=0,
o conteúdo é transformada de Laplace e o teorema da convolução para obter a solução por meio da resposta ao impulso e convolução com a força excitante.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que as condições iniciais são zero. Para a transformada Y(s)=Ly(t) temos:
s^2Y(s) + 5sY(s) + 4Y(s) = 2cdot 1s+2
Agrupando em Y(s):
Y(s) = 2(s+2)(s^2+5s+4) = 2(s+2)(s+1)(s+4)

Passo 3

Encontrar a resposta ao impulso h(t)=L^-11/[(s+1)(s+4)]. Fazendo frações parciais:
1(s+1)(s+4) = As+1 + Bs+4,
com
A+B=0, 4A+B=1 implies A=tfrac13,;B=-tfrac13
Então
h(t) = 13e^-t - 13e^-4t, t>=0

Passo 4

Usar o teorema da convolução: a solução é
y(t) = (h*2e^-2t)(t) = 2integral0^t h(tau),e^-2(t-tau),dtau
Substituindo h(tau):
y(t) = 2integral0^t l(tfrac13e^-tau-tfrac13e^-4taur)e^-2(t-tau),dtau
Fatorando 2/3,e^-2t e integrando:
y(t) &= tfrac23e^-2tintegral0^tl(e^tau-e^-2taur)dtau = tfrac23e^-2tl[(e^t-1)-l(-tfrac12(e^-2t-1)r)r] &= tfrac23e^-2tl(e^t-1 + tfrac12e^-2t-tfrac12r) = tfrac23e^-t - e^-2t + tfrac13e^-4t

Resposta

y(t)=tfrac23e^-t - e^-2t + tfrac13e^-4t.

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