Q1. Um tanque contém 1000 litros de água, e no início o tanque está cheio de uma solução com 10 gramas de sal por litro. A solução entra no tanque a uma taxa de 5 litros por minuto, e a solução é drenada a uma taxa de 5 litros por minuto, de modo que o volume de solução no tanque permanece constante. A solução que entra no tanque contém 3 gramas de sal por litro. A equação que modela a situação acima e descreve a quantidade de sal no tanque ao longo do tempo é dada por
onde
é a quantidade de sal no tanque no tempo
, em gramas. Sabendo que
gramas (o total inicial de sal no tanque), determine a quantidade de sal
no tanque após 10 minutos.
Passo 1
O enunciado descreve um tanque de
L com concentração inicial de
g/L, ou seja
g de sal. Entra e sai
L/min, mantendo o volume constante, e a concentração de entrada é
g/L, gerando o termo
g/min. A ODE que modela
é
ou seja uma equação linear de primeira ordem não homogênea. Nosso objetivo é resolver essa ODE com
e calcular
.
Passo 2
Reescrevemos a equação no formato padrão
Como
, temos
Passo 3
Calculamos o fator integrante
:
Multiplicando a ODE por
obtemos
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isolando
, a solução geral é
Passo 5
Usamos a condição inicial
:
Logo
Passo 6
Para
minutos,
Numericamente,
, então
Resposta
A quantidade de sal após 10 minutos é