Q1. Um tanque contém 1000 litros de água, e no início o tanque está cheio de uma solução com 10 gramas de sal por litro. A solução entra no tanque a uma taxa de 5 litros por minuto, e a solução é drenada a uma taxa de 5 litros por minuto, de modo que o volume de solução no tanque permanece constante. A solução que entra no tanque contém 3 gramas de sal por litro. A equação que modela a situação acima e descreve a quantidade de sal no tanque ao longo do tempo é dada por
d Sd t=15-5 S1000,
onde S(t) é a quantidade de sal no tanque no tempo t, em gramas. Sabendo que S(0)=10000 gramas (o total inicial de sal no tanque), determine a quantidade de sal S(t) no tanque após 10 minutos.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de 1000 L com concentração inicial de 10 g/L, ou seja S(0)=1000cdot10=10000 g de sal. Entra e sai 5 L/min, mantendo o volume constante, e a concentração de entrada é 3 g/L, gerando o termo 5cdot3=15 g/min. A ODE que modela S(t) é
dSdt=15-5S1000,
ou seja uma equação linear de primeira ordem não homogênea. Nosso objetivo é resolver essa ODE com S(0)=10000 e calcular S(10).

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato padrão
dSdt + 51000S = 15
Como 51000=0,005, temos
dSdt + 0,005,S = 15

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t):
mu(t) = e^integral 0,005,dt = e^0,005t
Multiplicando a ODE por mu(t) obtemos
e^0,005tdSdt + 0,005,e^0,005tS =ddtl(S,e^0,005tr) = 15,e^0,005t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
S,e^0,005t = integral 15,e^0,005t,dt = 15cdot10,005,e^0,005t + C =3000,e^0,005t + C
Isolando S, a solução geral é
S(t) = 3000 + C,e^-0,005t

Passo 5

Usamos a condição inicial S(0)=10000:
10000 = 3000 + Ccdot e^0 Longrightarrow C = 7000
Logo
S(t) = 3000 + 7000,e^-0,005t

Passo 6

Para t=10 minutos,
S(10) = 3000 + 7000,e^-0,005cdot10 =3000 + 7000,e^-0,05
Numericamente, e^-0,05approx0,95123, então
S(10)approx3000 + 7000cdot0,95123approx9658,6 g

Resposta

A quantidade de sal após 10 minutos é
S(10)=3000 + 7000,e^-0,05approx9658,6 g

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