(4 pts) Diga quais afirmações estão corretas:
(a) Uma função de classe C^1 é diferenciável.
(b) Uma função que tem todas as derivadas direcionais num ponto é diferenciável nesse ponto.
(c) Se lim (x, y) (x0, y0) f(x, y) existe, então f é contínua em (x0, y0).
(d) Lembre que um campo F(x, y) no plano é conservativo se F= -nabla V, para alguma função V(x, y) de classe C^2. Afirmação: o campo de forças F(x, y)=x y i-x y^3 j não é conservativo.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre funções em várias variáveis e campos vetoriais, e pede para identificar quais são verdadeiras. O conteúdo envolvido é: diferenciabilidade de funções (classe C^1 versus derivadas direcionais), relação entre limite e continuidade, e condicão de ser campo conservativo via igualdade de derivadas parciais (teorema de Schwarz) num domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Analisando (a): “Uma função de classe C^1 é diferenciável.”
Por definição, classe C^1 significa que as derivadas parciais existem e são contínuas num ponto (ou numa vizinhança). Isso garante a existência do diferencial linear naquele ponto, logo a função é diferenciável.
Portanto, (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (b): “Uma função que tem todas as derivadas direcionais num ponto é diferenciável nesse ponto.”
Ter todas as derivadas direcionais apenas garante limites unidirecionais de diferença quociente, mas não impõe a existência de um mapeamento linear aproximando a função em todas as direções simultaneamente. Há contraexemplos clássicos (por exemplo, funções construídas em coordenadas polares) que têm todas as derivadas direcionais no ponto mas não são diferenciáveis.
Portanto, (b) é falsa.

Passo 4

Analisando (c): “Se lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y) existe, então f é contínua em (x0,y0).”
A existência do limite
L = lim(x,y)to(x0,y0) f(x,y)
significa apenas que f(x,y)to L quando (x,y)to(x0,y0). Para continuidade precisamos ainda que f(x0,y0)=L. Se f(x0,y0)neq L ou sequer está definido, a função não é contínua, mesmo que o limite exista.
Portanto, (c) é falsa.

Passo 5

Analisando (d): “O campo F(x,y)=x y,i-x y^3,j não é conservativo.”
Se o domínio for simplesmente conexo, para ser conservativo devemos ter
partial Ppartial y = partial Qpartial x,
onde P(x,y)=xy e Q(x,y)=-xy^3. Calculamos
partial Ppartial y = x, partial Qpartial x = -,y^3
Como xneq -y^3 em geral, o campo não satisfaz a condição de ser gradiente de nenhuma potencial V. Logo F não é conservativo e a afirmação está correta.

Resposta

As afirmações corretas são (a) e (d).

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