(4 pts) Diga quais afirmações estão corretas:
(a) Uma função de classe
é diferenciável.
(b) Uma função que tem todas as derivadas direcionais num ponto é diferenciável nesse ponto.
(c) Se
existe, então
é contínua em
.
(d) Lembre que um campo
no plano é conservativo se
, para alguma função
de classe
. Afirmação: o campo de forças
não é conservativo.
(a) Uma função de classe
(b) Uma função que tem todas as derivadas direcionais num ponto é diferenciável nesse ponto.
(c) Se
(d) Lembre que um campo
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre funções em várias variáveis e campos vetoriais, e pede para identificar quais são verdadeiras. O conteúdo envolvido é: diferenciabilidade de funções (classe
versus derivadas direcionais), relação entre limite e continuidade, e condicão de ser campo conservativo via igualdade de derivadas parciais (teorema de Schwarz) num domínio simplesmente conexo.
Passo 2
Analisando (a): “Uma função de classe
é diferenciável.”
Por definição, classe significa que as derivadas parciais existem e são contínuas num ponto (ou numa vizinhança). Isso garante a existência do diferencial linear naquele ponto, logo a função é diferenciável.
Portanto, (a) é verdadeira.
Por definição, classe
Portanto, (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (b): “Uma função que tem todas as derivadas direcionais num ponto é diferenciável nesse ponto.”
Ter todas as derivadas direcionais apenas garante limites unidirecionais de diferença quociente, mas não impõe a existência de um mapeamento linear aproximando a função em todas as direções simultaneamente. Há contraexemplos clássicos (por exemplo, funções construídas em coordenadas polares) que têm todas as derivadas direcionais no ponto mas não são diferenciáveis.
Portanto, (b) é falsa.
Ter todas as derivadas direcionais apenas garante limites unidirecionais de diferença quociente, mas não impõe a existência de um mapeamento linear aproximando a função em todas as direções simultaneamente. Há contraexemplos clássicos (por exemplo, funções construídas em coordenadas polares) que têm todas as derivadas direcionais no ponto mas não são diferenciáveis.
Portanto, (b) é falsa.
Passo 4
Analisando (c): “Se
existe, então
é contínua em
.”
A existência do limite
A existência do limite
significa apenas que
quando
. Para continuidade precisamos ainda que
. Se
ou sequer está definido, a função não é contínua, mesmo que o limite exista.
Portanto, (c) é falsa.
Portanto, (c) é falsa.
Passo 5
Analisando (d): “O campo
não é conservativo.”
Se o domínio for simplesmente conexo, para ser conservativo devemos ter
Se o domínio for simplesmente conexo, para ser conservativo devemos ter
onde
e
. Calculamos
Como
em geral, o campo não satisfaz a condição de ser gradiente de nenhuma potencial
. Logo
não é conservativo e a afirmação está correta.
Resposta
As afirmações corretas são (a) e (d).