- Um tanque esférico de 1 metro de raio está cheio de água. Um furo foi feito no fundo do tanque e, 1 minuto depois, o nível de água caiu pela metade. Sabendo que o nível de água
ao longo do tempo satisfaz a EDO
a) Determine o nível de água
em função do tempo. Não isole a função
.
b) Em quanto tempo o tanque ficará vazio?
b) Em quanto tempo o tanque ficará vazio?
Passo 1
O enunciado pede para achar a altura de água h em função do tempo t (sem isolar h) a partir da EDO
com
e
, e depois determinar o tempo em que
. Vamos usar separação de variáveis e integrar.
Passo 2
Separamos as variáveis:
Passo 3
Integramos ambos os lados de
a
e de
a
:
Passo 4
Calculamos a integral em
:
Passo 5
Logo a solução implícita geral é
Passo 6
Agora usamos a condição
para encontrar
. Substituindo
e
:
$$1 = \frac{\pi}{k}\Bigl[\frac{4}{3}\cdot1 - \frac{2}{5}\cdot1 - \bigl(\frac{4}{3},2^{3/2} - \frac{2}{5},2^{5/2}\bigr)\Bigr]
= \frac{\pi}{k},\frac{14 - 16\sqrt{2}}{15}$$
Passo 7
Dessa relação obtemos
$$k = \frac{\pi}{15}\bigl(14 - 16\sqrt{2}\bigr).
$$
Passo 8
Substituindo
na solução implícita, temos a resposta do item (a):
Passo 9
Para o item (b), basta levar
nessa mesma relação. Fazendo
em
Resposta
Item (a): a altura h satisfaz implicitamente
$$t = \frac{\pi}{k}\Bigl[\tfrac{4}{3}h^{3/2} - \tfrac{2}{5}h^{5/2} - (\tfrac{4}{3}2^{3/2} - \tfrac{2}{5}2^{5/2})\Bigr],\quad k = \frac{\pi}{15}(14 - 16\sqrt2).