1. Um tanque esférico de 1 metro de raio está cheio de água. Um furo foi feito no fundo do tanque e, 1 minuto depois, o nível de água caiu pela metade. Sabendo que o nível de água h ao longo do tempo satisfaz a EDO
l d hd t=k raizhpi(2 h-h^2) h(0)=2, h(1)=1 , onde k é uma constante é
a) Determine o nível de água h em função do tempo. Não isole a função h(t).
b) Em quanto tempo o tanque ficará vazio?

Passo 1

O enunciado pede para achar a altura de água h em função do tempo t (sem isolar h) a partir da EDO dfracdhdt = dfrackraizhpi(2h - h^2) com h(0)=2 e h(1)=1, e depois determinar o tempo em que hto0. Vamos usar separação de variáveis e integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis:
dt = pi(2h - h^2)kraizh,dh

Passo 3

Integramos ambos os lados de t=0 a t e de h=2 a h:
t = integral0^tdt = pik integral2^h l(2h^1/2 - h^3/2r),dh

Passo 4

Calculamos a integral em h:
integral l(2h^1/2 - h^3/2r)dh = 2 cdot 23h^3/2 - 25h^5/2 = 43h^3/2 - 25h^5/2

Passo 5

Logo a solução implícita geral é
t = pik gl[ 43h^3/2 - 25h^5/2 - l(43,2^3/2 - 25,2^5/2r) gr]

Passo 6

Agora usamos a condição h(1)=1 para encontrar k. Substituindo t=1 e h=1:
$$1 = \frac{\pi}{k}\Bigl[\frac{4}{3}\cdot1 - \frac{2}{5}\cdot1 - \bigl(\frac{4}{3},2^{3/2} - \frac{2}{5},2^{5/2}\bigr)\Bigr]
= \frac{\pi}{k},\frac{14 - 16\sqrt{2}}{15}$$

Passo 7

Dessa relação obtemos
$$k = \frac{\pi}{15}\bigl(14 - 16\sqrt{2}\bigr).
$$

Passo 8

Substituindo k na solução implícita, temos a resposta do item (a):
t = 15pi(14 - 16raiz2), pi l[ tfrac43h^3/2 - tfrac25h^5/2 - (tfrac432^3/2 - tfrac252^5/2) r]

Passo 9

Para o item (b), basta levar hto0 nessa mesma relação. Fazendo h=0 em
t = pikl[0 - l(tfrac432^3/2 - tfrac252^5/2r)r] = -pik,16raiz215, e usando k=tfracpi15(14-16raiz2), chegamos ao tempo até esvaziar:
tvazio = 128 + 56raiz279 minutos (aprox 2,62 min)

Resposta

Item (a): a altura h satisfaz implicitamente
$$t = \frac{\pi}{k}\Bigl[\tfrac{4}{3}h^{3/2} - \tfrac{2}{5}h^{5/2} - (\tfrac{4}{3}2^{3/2} - \tfrac{2}{5}2^{5/2})\Bigr],\quad k = \frac{\pi}{15}(14 - 16\sqrt2).
t = pikl[tfrac43h^3/2 - tfrac25h^5/2 - (tfrac432^3/2 - tfrac252^5/2)r], k = pi15(14 - 16raiz2) t_{vazio} = \frac{128 + 56\sqrt2}{79}\approx2{,}62minutos.$$

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