Verifique que y_{1}(t)=t^{2} e y_{2}(t)=t^{-1} são duas soluções da equação diferencial t^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0 para t>0. Calcule o wronskiano de y_{1} e y_{2} e determine a solução geral da equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
t^{2}y''-2y=0,\quad t>0,
e indica duas funções
y_{1}(t)=t^{2},\qquad y_{2}(t)=t^{-1}.
Precisamos (a) verificar que ambas são soluções, (b) calcular o Wronskiano W(y_{1},y_{2}) e (c) usar o fato de serem soluções linearmente independentes para escrever a solução geral.
Passo 2
Verificamos que y_{1}(t)=t^{2} resolve a equação:
y_{1}'(t)=2t,\quad y_{1}''(t)=2.
Substituindo em \;t^{2}y''-2y=0:
t^{2}\cdot 2 \;-\;2\cdot t^{2} =2t^{2}-2t^{2}=0,
logo \,y_{1} é solução.
Passo 3
Verificamos que y_{2}(t)=t^{-1} resolve a equação: