Verifique que y_{1}(t)=t^{2} e y_{2}(t)=t^{-1} são duas soluções da equação diferencial t^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0 para t>0. Calcule o wronskiano de y_{1} e y_{2} e determine a solução geral da equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
t^{2}y''-2y=0,\quad t>0,
e indica duas funções
y_{1}(t)=t^{2},\qquad y_{2}(t)=t^{-1}.
Precisamos (a) verificar que ambas são soluções, (b) calcular o Wronskiano W(y_{1},y_{2}) e (c) usar o fato de serem soluções linearmente independentes para escrever a solução geral.

Passo 2

Verificamos que y_{1}(t)=t^{2} resolve a equação:
y_{1}'(t)=2t,\quad y_{1}''(t)=2.
Substituindo em \;t^{2}y''-2y=0:
t^{2}\cdot 2 \;-\;2\cdot t^{2} =2t^{2}-2t^{2}=0,
logo \,y_{1} é solução.

Passo 3

Verificamos que y_{2}(t)=t^{-1} resolve a equação:
y_{2}'(t)=-t^{-2},\quad y_{2}''(t)=2t^{-3}.
Substituindo:
t^{2}\cdot 2t^{-3}\;-\;2\cdot t^{-1} =2t^{-1}-2t^{-1}=0,
portanto \,y_{2} também é solução.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
W(y_{1},y_{2})(t) =\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[6pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} =y_{1}\,y_{2}'-y_{2}\,y_{1}' =t^{2}\bigl(-t^{-2}\bigr)-t^{-1}\bigl(2t\bigr) =-1-2 =-3.
Como W\neq0 para todo t>0, as soluções são linearmente independentes.]

Passo 5

Num problema homogêneo de segunda ordem, duas soluções linearmente independentes geram a solução geral por combinação linear. Assim
y(t)=C_{1}\,y_{1}(t)+C_{2}\,y_{2}(t) =C_{1}\,t^{2}+C_{2}\,t^{-1},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(t)=C_{1}t^{2}+C_{2}t^{-1}.}

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