1. Um tanque contém inicialmente 500 litros de solução. Uma torneira despeja água pura no tanque a uma taxa de R entrada (t)=20 e^-0.05 t L / min, enquanto uma válvula drena a mistura do tanque a uma taxa constante de R saida =10 L / min.
    a) Escreva a expressão para a taxa líquida de variação do volume no tanque, d Vd t.
    b) Encontre a função V(t) que representa o volume de solução no tanque no instante t.
    c) Qual o volume de solução no tanque após 20 minutos?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque que contém inicialmente 500 L de solução e recebe água pura a uma vazão variável
Rentrada(t)=20,e^-0.05t;L/min,
enquanto a mistura sai com vazão constante
Rsaída=10;L/min í
O conteúdo é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e integração de funções conhecidas. Precisamos:
  1. Montar a equação para tfracdVdt.
  2. Resolver para V(t) usando V(0)=500.
  3. Calcular V(20).

Passo 2

A taxa líquida de variação do volume é a diferença entre entrada e saída, logo
dVdt=Rentrada(t)-Rsaída=20,e^-0.05t-10 í

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral dVdt,dt=integrall(20,e^-0.05t-10r),dt

Passo 4

Calculando as integrais, temos
integral 20,e^-0.05t,dt=-400,e^-0.05t,
integral -10,dt=-10t,
portanto
V(t)=-400,e^-0.05t-10t+C
Usando a condição inicial V(0)=500
-400cdot1-0+C=500Longrightarrow C=900,
logo
V(t)=900-400,e^-0.05t-10t

Passo 5

Para t=20 minutos,
V(20)=900-400,e^-0.05cdot20-10cdot20 =900-400,e^-1-200 =700-400,e^-1approx552,8;L

Resposta

a) dVdt=20,e^-0.05t-10
b) V(t)=900-400,e^-0.05t-10t
c) V(20)=700-400,e^-1approx552,8;L

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