- Um tanque contém inicialmente 500 litros de solução. Uma torneira despeja água pura no tanque a uma taxa de
, enquanto uma válvula drena a mistura do tanque a uma taxa constante de
.
a) Escreva a expressão para a taxa líquida de variação do volume no tanque,
.
b) Encontre a função
que representa o volume de solução no tanque no instante
.
c) Qual o volume de solução no tanque após 20 minutos?
a) Escreva a expressão para a taxa líquida de variação do volume no tanque,
b) Encontre a função
c) Qual o volume de solução no tanque após 20 minutos?
Passo 1
O enunciado descreve um tanque que contém inicialmente
L de solução e recebe água pura a uma vazão variável
enquanto a mistura sai com vazão constante
O conteúdo é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e integração de funções conhecidas. Precisamos:
- Montar a equação para
. - Resolver para
usando . - Calcular
.
Passo 2
A taxa líquida de variação do volume é a diferença entre entrada e saída, logo
Passo 3
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Calculando as integrais, temos
portanto
Usando a condição inicial
dá
logo
Passo 5
Para
minutos,
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)