1. Água está sendo bombeada para dentro de um tanque cilíndrico de raio da base r=2 m a uma taxa constante de R(t)=0.5 m^3 / min. O tanque está inicialmente vazio.
    a) Encontre a função V(t) que descreve o volume de água no tanque no instante t.
    b) Sabendo que o volume de um cilindro é V=pi r^2 h, encontre a função h(t) que descreve a altura da água no tanque no instante t.
    c) Quanto tempo levará para a altura da água atingir 3 m ?

Passo 1

O enunciado apresenta um tanque cilíndrico de raio da base r=2,m inicialmente vazio e uma taxa constante de entrada de água
R(t)=0,5;m^3/min
Pede-se determinar: (a) a função V(t) do volume; (b) a função h(t) da altura da água, sabendo que
V=pi r^2 h;
(c) o tempo para que h=3,m. Vamos usar integração de taxas e relações geométricas do cilindro.

Passo 2

Sabendo que a taxa de variação do volume é
dVdt=R(t)=0,5,
integramos em t e aplicamos V(0)=0:
V(t)=integral0^t0,5,dt=0,5,t

Passo 3

Usamos a fórmula do volume do cilindro
V(t)=pi,r^2,h(t),
com r=2. Então
h(t)=V(t)pi,(2)^2=0,5,t4pi=t8pi

Passo 4

Para achar o instante em que h=3, resolvemos
t8pi=3 Longrightarrow t=3cdot8pi=24pi (min)

Resposta

(a) V(t)=0,5,t.
(b) h(t)=dfract8pi.
(c) t=24pi minutos.

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