Um tanque contém inicialmente 9 litros de água salgada com uma concentração de 1 grama de sal por litro. Água pura entra no tanque a uma taxa de 3 litros por minuto e a mistura sai do tanque à mesma taxa. Determine uma função que expresse a quantidade de sal no tanque em função do tempo.

Passo 1

O enunciado pede para achar a quantidade de sal num tanque de volume constante de 9 L, onde entra água pura a 3 L/min e sai mistura à mesma vazão. O conteúdo é uma equação diferencial de primeira ordem aplicada a balanço de massa de sal.

Passo 2

Definimos a função y(t) como a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante t (min). O volume V do tanque é constante igual a 9 L. Como a água que entra é pura, a vazão de sal de entrada é zero.

Passo 3

Para montar a equação diferencial de balanço de sal usamos que a taxa de variação dy/dt é igual à entrada menos a saída de sal. A entrada é zero e a saída é vazão de saída vezes concentração da mistura, isto é:
A saída de sal é dada por fluxo · concentração = 3 L/min · (y(t)/9 L), logo
dydt = 0 - 3cdoty9 = -13y

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear e separável. Fazendo separação de variáveis:
integral 1y,dy = -13 integral dt implies ln|y| = -t3 + C

Passo 5

Exponenciando e aplicando a condição inicial y(0)=9 (pois havia 9 g de sal inicialmente), obtemos
y(t) = Ce^-t/3, y(0)=C=9

Resposta

A função que descreve a quantidade de sal no tanque é
y(t)=9e^-t/3\ngramas.

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