Calcule as integrais utilizando integraçāo por partes e fraçöes parciais.
integral x e^-x d x
volume =2 pi integrala^b x f(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais usando integração por partes e frações parciais. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois a integral de interesse é ∫ x e^(–x) dx. Para a segunda expressão, temos apenas a fórmula do volume por cascas cilíndricas, sem função ou limites específicos, então não há integral explícita a calcular além de reconhecer sua forma.

Passo 2

Escolhemos na integral ∫ x e^(–x) dx as partes de acordo com a regra: u = x, dv = e^(–x) dx. Isso porque derivar u simplifica x e integrar dv mantém a exponencial de forma tratável.
Calculamos du e v: derivando u = x obtemos du = dx; integrando dv = e^(–x) dx obtemos v = ∫ e^(–x) dx = –e^(–x).

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes: ∫ u dv = u v – ∫ v du. Substituindo,
integral x,e^-x,dx = x,( -e^-x ) - integral (-e^-x),dx

Passo 4

Simplificamos o sinal e integramos o termo remanescente:
integral x,e^-x,dx = -x,e^-x + integral e^-x,dx = -x,e^-x - e^-x + C
Fatorando o expoente comum, obtemos a forma final da primitiva:
integral x,e^-x,dx = -(x + 1),e^-x + C

Passo 5

A segunda expressão apresentada,
volume = 2pi integrala^b x,f(x),dx,
é simplesmente a fórmula do método das cascas cilíndricas para volume de revolução; sem especificar f(x) e os limites a e b, ela permanece como está.

Resposta

integral x e^-x dx = -(x + 1)e^-x + C

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