Calcule as integrais utilizando integraçāo por partes e fraçöes parciais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as integrais usando integração por partes e frações parciais. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois a integral de interesse é ∫ x e^(–x) dx. Para a segunda expressão, temos apenas a fórmula do volume por cascas cilíndricas, sem função ou limites específicos, então não há integral explícita a calcular além de reconhecer sua forma.
Passo 2
Escolhemos na integral ∫ x e^(–x) dx as partes de acordo com a regra: u = x, dv = e^(–x) dx. Isso porque derivar u simplifica x e integrar dv mantém a exponencial de forma tratável.
Calculamos du e v: derivando u = x obtemos du = dx; integrando dv = e^(–x) dx obtemos v = ∫ e^(–x) dx = –e^(–x).
Calculamos du e v: derivando u = x obtemos du = dx; integrando dv = e^(–x) dx obtemos v = ∫ e^(–x) dx = –e^(–x).
Passo 3
Aplicamos a fórmula de integração por partes: ∫ u dv = u v – ∫ v du. Substituindo,
Passo 4
Simplificamos o sinal e integramos o termo remanescente:
Fatorando o expoente comum, obtemos a forma final da primitiva:
Passo 5
A segunda expressão apresentada,
é simplesmente a fórmula do método das cascas cilíndricas para volume de revolução; sem especificar f(x) e os limites a e b, ela permanece como está.