Um tanque contendo 300 litros de solução de salmoura com 0,225 quilogramas de sal por litro. No instante inicial começa a entrar no tanque outra solução de salmoura com 0,120 quilogramas de sal por litro, à razão de 15 litros por minuto, enquanto a mistura é homogeneizada e sai do tanque à razão de 30 litros por minuto. Determine a quantidade de sal no quanto quando este tiver exatamente 150 litros de solução.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura em que temos inicialmente 300 L de solução com concentração 0,225 kg/L de sal. Entra solução a 15 L/min com concentração 0,120 kg/L e sai solução a 30 L/min, com mistura homogênea. Definimos:
x(t)=quantidade de sal (kg) no tanque no tempo t,
V(t)=volume de solução (L) no tempo t çã
Queremos x quando V=150 L.

Passo 2

O volume varia segundo
dVdt=taxa in - taxa out=15 - 30=-15(L/min),
com V(0)=300. Integrando,
V(t)=300 - 15t
Para V=150 temos
300 - 15t = 150 Longrightarrow t=10 min

Passo 3

O balanço de massa de sal dá
dxdt =underbrace0,120cdot 15entrada de sal (kg/min) - underbracex(t)V(t)cdot 30saída de sal (kg/min) í
Logo
dxdt =1,8 - 30,x300 - 15t

Passo 4

Reescrevemos em forma linear padrão:
dxdt + 30300-15t,x = 1,8
Como tfrac30300-15t = tfrac220-t, temos
dxdt + 220-t,x = 1,8
O fator integrante é
mu(t)=exp!l(integral 220-t,dtr) =expl(-2ln(20-t)r) =(20-t)^-2
Multiplicando a ODE por (20-t)^-2 e integrando:
ddtl[x,(20-t)^-2r] =1,8,(20-t)^-2 Longrightarrow x,(20-t)^-2 =integral 1,8,(20-t)^-2,dt =1,820-t + C
Assim
x(t)=1,8(20-t) + C,(20-t)^2

Passo 5

Usamos a condição inicial x(0)=300cdot0,225=67,5 kg:
67,5 = 1,8cdot20 + Ccdot20^2 Longrightarrow 67,5 = 36 + 400C Longrightarrow C = 31,5400 = 0,07875
Logo
x(t)=1,8(20-t) + 0,07875,(20-t)^2

Passo 6

Para t=10 min ( V=150 L),
20 - t = 10 Longrightarrow x(10)=1,8cdot10 + 0,07875cdot10^2 =18 + 7,875 =25,875 kg

Resposta

A quantidade de sal no tanque quando houver 150 L de solução é de 25,875 kg.

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