Um tanque com
de diâmetro é alimentado a uma vazão
e descarregado através de uma tubulação com 0,1m de diâmetro. Determine a vazão volumétrica
necessária para que o nível de água no tanque permaneça constante e igual a 2 m. Qual o erro associado à hipótese adotada na letra a)?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:\n
- Dados:\n
- Diâmetro do tanque:
.\n - Nível de água (altura do espelho livre):
.\n - Diâmetro da tubulação de descarga:
.\n - O tanque é alimentado com uma vazão
e descarrega pela tubulação; pede-se a vazão volumétrica necessária para que o nível permaneça constante em .\n
- Diâmetro do tanque:
- Perguntas:\n
- Determinar a vazão volumétrica
necessária (ou seja, a vazão de saída que iguala a entrada, em regime permanente).\n - Qual é o erro associado à hipótese adotada na letra (a)? (interpreto que a hipótese usada será a de escoamento ideal sem perdas — explicarei e quantificarei o erro típico).\n
- Determinar a vazão volumétrica
Passo 2
Princípio físico e hipótese adotada (explicação didática):\n
- Em regime permanente, o nível é constante, logo a vazão de entrada deve igualar a vazão de saída:
.\n - Para estimar
usamos Bernoulli entre o espelho livre do tanque e a saída da tubulação, sob as hipóteses:\n - fluido incompressível e escoamento estacionário;\n
- velocidade no espelho livre é desprezível em comparação com a velocidade na tubulação (porque a área do tanque é muito maior que a do tubo);\n
- sem perdas de energia (sem atrito na tubulação, sem perdas de entrada/saída).\n
- Com essas hipóteses surge a fórmula de Torricelli: a velocidade de saída
é\n \n
onde
é a aceleração da gravidade e
é a diferença de cota entre o espelho livre e a saída. Explicando a fórmula: a energia potencial por unidade de peso
é convertida em energia cinética
, então
.\n
- A vazão volumétrica é o produto da área da seção da tubulação pela velocidade:
.\n
Passo 3
Cálculo das áreas (mostro as contas passo a passo):\n
- Área da seção circular da tubulação:\n
\n - Numérico:\n
\n - Área do tanque (usarei adiante para comparar velocidades):\n
\n
Passo 4
Cálculo da velocidade de saída usando Torricelli:\n
- Usando
e :\n \n
Passo 5
Cálculo da vazão volumétrica
:\n
-
.\n - Substituindo os valores numéricos:\n
\n - Em unidades mais usuais:
.\n
Portanto, com as hipóteses ideais, a vazão necessária é.\n
Passo 6
Análise do erro associado à hipótese adotada (explicação didática e quantificação):\n
As duas hipóteses principais que introduzem erro são: (i) desprezar a velocidade no espelho livre e (ii) desprezar perdas de energia (perda de entrada, atrito na tubulação, perdas de saída).\n
As duas hipóteses principais que introduzem erro são: (i) desprezar a velocidade no espelho livre e (ii) desprezar perdas de energia (perda de entrada, atrito na tubulação, perdas de saída).\n
- Erro por desprezar a velocidade no espelho livre:\n - Continuidade dá
.\n - Defino . Com os valores acima:\n \n - Considerando rigorosamente Bernoulli (sem perdas) e usando continuidade obtém-se\n \n - O fator de correção é . Para :\n \n - Ou seja, desprezar introduz erro de aproximadamente na velocidade (e portanto na vazão). Conclusão: esse erro é desprezível aqui porque o tanque é muito maior que o tubo.\n - Erro por desprezar perdas de energia (entrada e atrito):\n - Essas perdas podem ser importantes e dependem da geometria da entrada, do comprimento da tubulação
, do número de Reynolds e da rugosidade relativa; sem esses dados não podemos calcular exatamente.\n - Para dar uma ideia quantitativa: uma entrada afunilada suave tem perda pequena; uma entrada em borda aguda (sharp-edged) tem coeficiente de perda típico . Se houvesse apenas essa perda de entrada e nenhuma outra perda, a energia disponível efetiva seria reduzida e a velocidade seria\n \n - Para :\n \n o que daria .\n Isso é cerca de menor que o valor sem perdas. Portanto, se a entrada for de borda aguda ou a tubulação tiver comprimento/atritos relevantes, o erro pode ser da ordem de dezenas de porcento.\n - Se a tubulação for longa, a perda por atrito (que cresce como ) também reduz bastante a vazão; sem e rugosidade não dá para quantificar aqui.\n\nResumo do erro: desprezar é perfeitamente justificável (erro ). Desprezar perdas (entrada e atrito) pode causar um erro grande (ex.: para uma entrada afiada com ; mais se houver atrito longo). Para um resultado preciso seria necessário saber o tipo de transição tanque→tubo, o comprimento da tubulação e a rugosidade para calcular .\n
Resposta
Erro associado à hipótese ideal: desprezar a velocidade no tanque produz erro desprezível (