Um tanque com 1 m de diâmetro é alimentado a uma vazão \dot{V} e descarregado através de uma tubulação com 0,1m de diâmetro. Determine a vazão volumétrica V necessária para que o nível de água no tanque permaneça constante e igual a 2 m. Qual o erro associado à hipótese adotada na letra a)?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:\n
  • Dados:\n
    • Diâmetro do tanque: D_{\text{tanque}} = 1\\ \mathrm{m}.\n
    • Nível de água (altura do espelho livre): h = 2\\ \mathrm{m}.\n
    • Diâmetro da tubulação de descarga: D_{\text{tubo}} = 0,1\\ \mathrm{m}.\n
    • O tanque é alimentado com uma vazão \dot{V} e descarrega pela tubulação; pede-se a vazão volumétrica \dot{V} necessária para que o nível permaneça constante em 2\\ \mathrm{m}.\n
  • Perguntas:\n
    1. Determinar a vazão volumétrica \dot{V} necessária (ou seja, a vazão de saída que iguala a entrada, em regime permanente).\n
    2. Qual é o erro associado à hipótese adotada na letra (a)? (interpreto que a hipótese usada será a de escoamento ideal sem perdas — explicarei e quantificarei o erro típico).\n

Passo 2

Princípio físico e hipótese adotada (explicação didática):\n
  • Em regime permanente, o nível é constante, logo a vazão de entrada deve igualar a vazão de saída: \dot{V}=\dot{V}_{\text{out}}.\n
  • Para estimar \dot{V}_{\text{out}} usamos Bernoulli entre o espelho livre do tanque e a saída da tubulação, sob as hipóteses:\n
    • fluido incompressível e escoamento estacionário;\n
    • velocidade no espelho livre é desprezível em comparação com a velocidade na tubulação (porque a área do tanque é muito maior que a do tubo);\n
    • sem perdas de energia (sem atrito na tubulação, sem perdas de entrada/saída).\n
  • Com essas hipóteses surge a fórmula de Torricelli: a velocidade de saída v é\n v = \sqrt{2 g h},\n
onde g é a aceleração da gravidade e h é a diferença de cota entre o espelho livre e a saída. Explicando a fórmula: a energia potencial por unidade de peso h é convertida em energia cinética \tfrac{v^2}{2g}, então v^2/2g = h.\n
  • A vazão volumétrica é o produto da área da seção da tubulação pela velocidade: \dot{V} = A_{\text{tubo}}\; v.\n

Passo 3

Cálculo das áreas (mostro as contas passo a passo):\n
  • Área da seção circular da tubulação:\n A_{\text{tubo}} = \frac{\pi D_{\text{tubo}}^2}{4} = \frac{\pi (0,1)^2}{4} = \pi\cdot 0,0025.\n
  • Numérico:\n A_{\text{tubo}} = \pi\cdot 0,0025 \approx 0,00785398\\ \mathrm{m}^2.\n
  • Área do tanque (usarei adiante para comparar velocidades):\n A_{\text{tanque}} = \frac{\pi D_{\text{tanque}}^2}{4} = \frac{\pi (1)^2}{4} = \pi\cdot 0,25 \approx 0,785398\\ \mathrm{m}^2.\n

Passo 4

Cálculo da velocidade de saída usando Torricelli:\n
  • Usando g=9,81\\ \mathrm{m/s^2} e h=2\\ \mathrm{m}:\n v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2\cdot 9,81 \cdot 2} = \sqrt{39,24} \approx 6,2649\\ \mathrm{m/s}.\n

Passo 5

Cálculo da vazão volumétrica \dot{V}:\n
  • \dot{V} = A_{\text{tubo}}\; v.\n
  • Substituindo os valores numéricos:\n \dot{V} \approx 0,00785398 \times 6,2649 \approx 0,0492\\ \mathrm{m^3/s}.\n
  • Em unidades mais usuais: 0,0492\\ \mathrm{m^3/s}=49,2\\ \mathrm{L/s}.\n
    Portanto, com as hipóteses ideais, a vazão necessária é \approx 0,0492\\ \mathrm{m^3/s}.\n

Passo 6

Análise do erro associado à hipótese adotada (explicação didática e quantificação):\n
As duas hipóteses principais que introduzem erro são: (i) desprezar a velocidade no espelho livre e (ii) desprezar perdas de energia (perda de entrada, atrito na tubulação, perdas de saída).\n
  • Erro por desprezar a velocidade no espelho livre:\n - Continuidade dá v_{\text{tanque}} = \dfrac{A_{\text{tubo}}}{A_{\text{tanque}}}\, v_{\text{tubo}}.\n - Defino k=\dfrac{A_{\text{tubo}}}{A_{\text{tanque}}}. Com os valores acima:\n k = \frac{0,00785398}{0,785398} = 0,01.\n - Considerando rigorosamente Bernoulli (sem perdas) e usando continuidade obtém-se\n v_{\text{tubo}} = \sqrt{\frac{2 g h}{1-k^2}}.\n - O fator de correção é 1/\sqrt{1-k^2}. Para k=0,01:\n \frac{1}{\sqrt{1-0,01^2}} \approx \frac{1}{\sqrt{0,9999}} \approx 1,00005.\n - Ou seja, desprezar v_{\text{tanque}} introduz erro de aproximadamente 0,005\% na velocidade (e portanto na vazão). Conclusão: esse erro é desprezível aqui porque o tanque é muito maior que o tubo.\n
  • Erro por desprezar perdas de energia (entrada e atrito):\n - Essas perdas podem ser importantes e dependem da geometria da entrada, do comprimento da tubulação L, do número de Reynolds e da rugosidade relativa; sem esses dados não podemos calcular exatamente.\n - Para dar uma ideia quantitativa: uma entrada afunilada suave tem perda pequena; uma entrada em borda aguda (sharp-edged) tem coeficiente de perda K_{\text{entrada}} típico \approx 0,5. Se houvesse apenas essa perda de entrada e nenhuma outra perda, a energia disponível efetiva seria reduzida e a velocidade seria\n v = \sqrt{\frac{2 g h}{1+K_{\text{entrada}}}}.\n - Para K_{\text{entrada}}=0,5:\n v = \sqrt{\frac{2 g h}{1{,}5}} = \sqrt{\frac{2\cdot 9{,}81\cdot 2}{1{,}5}} \approx 6{,}2649\cdot\sqrt{\frac{1}{1{,}5}} \approx 5{,}113\\ \mathrm{m/s},\n o que daria \dot{V}\approx 0,00785398\times 5{,}113 \approx 0,0401\\ \mathrm{m^3/s}.\n Isso é cerca de 18{,}5\% menor que o valor sem perdas. Portanto, se a entrada for de borda aguda ou a tubulação tiver comprimento/atritos relevantes, o erro pode ser da ordem de dezenas de porcento.\n - Se a tubulação for longa, a perda por atrito (que cresce como f (L/D)\, v^2/(2g)) também reduz bastante a vazão; sem L e rugosidade não dá para quantificar aqui.\n\nResumo do erro: desprezar v_{\text{tanque}} é perfeitamente justificável (erro \sim 0{,}005\%). Desprezar perdas (entrada e atrito) pode causar um erro grande (ex.: \sim 18\% para uma entrada afiada com K\approx 0{,}5; mais se houver atrito longo). Para um resultado preciso seria necessário saber o tipo de transição tanque→tubo, o comprimento L da tubulação e a rugosidade para calcular f.\n

Resposta

\dot{V}\approx 0{,}0492\\ \mathrm{m^3/s} (ou 49{,}2\\ \mathrm{L/s}).\n
Erro associado à hipótese ideal: desprezar a velocidade no tanque produz erro desprezível ( \sim 0{,}005\%); desprezar perdas de entrada/atrito pode introduzir erro significativo (ex.: \sim 18{,}5\% de redução na vazão para uma entrada afiada com K_{\text{entrada}}\approx 0{,}5; perda total depende de L e da rugosidade).

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