( 2,5 pontos) Deduza as equações da continuidade, de Navier-Stokes e da energia usando o teorema do divergente de Gauss.
Passo 1
O enunciado pede que sejam deduzidas, a partir do teorema do divergente de Gauss, as equações:
- da continuidade (conservação de massa),
- de Navier–Stokes (conservação de quantidade de movimento),
- da energia (conservação de energia).
Informações e hipóteses que vou usar (tudo assumido como dado para poder deduzir as formas locais):
- Campos: densidade
, velocidade , pressão , tensor de tensões , vetor fluxo de calor , fonte volumétrica de calor , e força de corpo por unidade de massa . - Trabalharei primeiro com formas integrais de conservação sobre um volume de controle fixo
com fronteira e vetor normal externo . - Usarei o teorema do divergente de Gauss: toda integral de superfície de um campo vetorial transforma-se em integral de volume da divergência desse campo (apresentado no Passo 2).
- Admito regularidade suficiente (campos diferenciáveis) para trocar integrals e derivadas e aplicar o teorema de Gauss.
Nada mais é exigido do enunciado; a partir desses elementos vou transformar as leis integrais em equações diferenciais locais.
Passo 2
Enunciado do teorema do divergente (Gauss) e identidade útil.
- Teorema do divergente: para um campo vetorial
suficientemente suave e um volume com fronteira ,
Vou aplicar isso sempre que aparecer uma integral de superfície de um fluxo (por exemplo
ou
).
- Identidade tensorial usada depois: para um segundo-ordem tensor
e vetor ,
onde
.
Passo 3
Dedução da equação da continuidade (conservação de massa) — forma integral e aplicação de Gauss.
- Lei integral de conservação de massa sobre
: a taxa de variação temporal de massa dentro de é igual ao fluxo líquido de massa entrante pela superfície com sinal trocado. Escrevendo com sinais convencionais:
Aqui
é o fluxo de massa por unidade de área atravessando
.
- Como
é fixo no espaço, a derivada temporal entra dentro da integral:
- Aplicando o teorema de Gauss ao segundo termo:
- Como a igualdade vale para qualquer volume de controle
, o integrando deve ser zero ponto a ponto. Logo obtemos a forma local (diferencial) da continuidade:
- Observação útil para provas: no caso incompressível com
constante espacial e temporal, esta equação reduz-se a . Para ver isso, dividir a equação por constante dá .
Passo 4
Dedução da equação de quantidade de movimento (forma integral de Navier–Stokes) — escrever balanço, aplicar Gauss.
- Balanço integral de quantidade de movimento sobre
: taxa de variação de momentum dentro do volume mais o fluxo convectivo de momentum pela superfície é igual à soma das forças de corpo e das forças de superfície:
A notação
é um vetor cujo componente
é
; representa o transporte de momentum pelo escoamento.
- Para volume fixo, a derivada entra na integral:
- Aplicando o teorema de Gauss às integrais de superfície:
Aqui
é o tensor cujo componente
é
.
- Igualando integrandos (válido para qualquer
) obtemos a forma local:
Essa é a forma geral de conservação de momento em termos do tensor de tensões
.
Passo 5
Manipulação para a forma convectiva (material derivative) e forma usual de Navier–Stokes.
- Usamos a identidade que relaciona as derivadas:
- Mas a quantidade entre parênteses à direita,
, é zero por continuidade (Passo 3). Portanto podemos simplificar:
- Assim a forma local do balanço de momento fica
Isto já é a forma convectiva das equações de Navier–Stokes, válida para fluxo compressível com um
arbitrário.
Passo 6
Constituição do tensor de tensões para um fluido newtoniano e forma explícita de Navier–Stokes.
- Separação do tensor de tensões:
onde
é a parte isotrópica (pressão) e
é o tensor viscoso (parte dissipativa).
- Para um fluido newtoniano isotrópico e compressível usa-se a lei linear mais geral:
onde
é a viscosidade dinâmica e
a segunda viscosidade (constante de volumétrica).
- Então
quando
e
são constantes.
- Substituindo em (Passo 5) resulta a forma clássica:
- Caso especial frequentemente usado (fluido incompressível,
, e constantes) simplifica para
Passo 7
Dedução da equação da energia — escolha do tipo de energia e balanço integral.
- Defino a energia total por unidade de massa
, onde é a energia interna por unidade de massa. - Balanço integral de energia (forma geral): a taxa de variação da energia total dentro de
mais o fluxo convectivo pela superfície é igual ao trabalho das forças de corpo mais o trabalho das tensões de superfície mais o transporte de calor através da superfície mais fontes volumétricas:
Termo por termo: trabalho de corpo
, potência de tensões superficiais
, fluxo de calor
(sinal tal que
é calor entrando), e fonte volumétrica
.
- Novamente, para
fixo:
- Aplicando Gauss às integrais de superfície:
- Igualando integrandos obtemos a forma local (total de energia):
Passo 8
Passagem para a equação da energia interna e simplificações úteis.
- Uso a identidade (Passo 2) sobre
:
- Substituo
usando a equação de momento (Passo 5) na forma
- Ao inserir isto na equação da energia total, os termos envolvendo
e a contribuição cinética se combinam e, após manipular (ver detalhes abaixo), obtém-se a equação para a energia interna :
- Interpretação dos termos:
-
é a taxa volumétrica de trabalho das tensões, que pode ser escrita como . - Para fluido newtoniano e incompressível (
) a parte de pressão desaparece e resta a dissipação viscosa . - Para transporte de calor com lei de Fourier,
, tem-se .
-
- Resultado prático para um fluido newtoniano, incompressível e sem fontes volumétricas:
Mas a forma geral e compacta a ser lembrada é a caixa do início deste passo.
Passo 9
Resumo das formas locais deduzidas e observações finais didáticas.
- Recolhendo:
- Continuidade (conservação de massa):
- Quantidade de movimento (Navier–Stokes, forma convectiva geral):
com . Para fluido newtoniano isotrópico com constantes : - Energia interna (forma local):
- Observação prática para prova: a chave é começar das formas integrais (taxa de mudança dentro do volume = somatório de fluxos/forças pela superfície) e aplicar o teorema de Gauss para converter integrais de superfície em integrais de volume; em seguida use o fato de que a igualdade para qualquer volume implica igualdade dos integrandos (forma local). Para obter Navier–Stokes completo, insira uma lei constitutiva para
(por exemplo fluido newtoniano) e use continuidade para simplificar termos convectivos.