( 2,5 pontos) Deduza as equações da continuidade, de Navier-Stokes e da energia usando o teorema do divergente de Gauss.

Passo 1

O enunciado pede que sejam deduzidas, a partir do teorema do divergente de Gauss, as equações:
  • da continuidade (conservação de massa),
  • de Navier–Stokes (conservação de quantidade de movimento),
  • da energia (conservação de energia).
Informações e hipóteses que vou usar (tudo assumido como dado para poder deduzir as formas locais):
  • Campos: densidade \rho(\mathbf{x},t), velocidade \mathbf{u}(\mathbf{x},t), pressão p(\mathbf{x},t), tensor de tensões \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x},t), vetor fluxo de calor \mathbf{q}(\mathbf{x},t), fonte volumétrica de calor \rho r(\mathbf{x},t), e força de corpo por unidade de massa \mathbf{f}(\mathbf{x},t).
  • Trabalharei primeiro com formas integrais de conservação sobre um volume de controle fixo V com fronteira \partial V e vetor normal externo \mathbf{n}.
  • Usarei o teorema do divergente de Gauss: toda integral de superfície de um campo vetorial transforma-se em integral de volume da divergência desse campo (apresentado no Passo 2).
  • Admito regularidade suficiente (campos diferenciáveis) para trocar integrals e derivadas e aplicar o teorema de Gauss.
    Nada mais é exigido do enunciado; a partir desses elementos vou transformar as leis integrais em equações diferenciais locais.

Passo 2

Enunciado do teorema do divergente (Gauss) e identidade útil.
  • Teorema do divergente: para um campo vetorial \mathbf{F}(\mathbf{x}) suficientemente suave e um volume V com fronteira \partial V,
\int_{\partial V} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \int_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Vou aplicar isso sempre que aparecer uma integral de superfície de um fluxo (por exemplo \int_{\partial V}\rho\mathbf{u}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{n})\,dS ou \int_{\partial V}(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})\,dS).
  • Identidade tensorial usada depois: para um segundo-ordem tensor \boldsymbol{\sigma} e vetor \mathbf{u},
\nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{u}) = (\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma})\cdot\mathbf{u} + \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{u},
onde \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{u} = \sum_{i,j}\sigma_{ij}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}.

Passo 3

Dedução da equação da continuidade (conservação de massa) — forma integral e aplicação de Gauss.
  • Lei integral de conservação de massa sobre V: a taxa de variação temporal de massa dentro de V é igual ao fluxo líquido de massa entrante pela superfície com sinal trocado. Escrevendo com sinais convencionais:
\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\,dV + \int_{\partial V} \rho\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}\,dS = 0.
Aqui \rho\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{n} é o fluxo de massa por unidade de área atravessando \partial V.
  • Como V é fixo no espaço, a derivada temporal entra dentro da integral:
\int_{V}\frac{\partial \rho}{\partial t}\,dV + \int_{\partial V} \rho\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}\,dS = 0.
  • Aplicando o teorema de Gauss ao segundo termo:
\int_{V}\frac{\partial \rho}{\partial t}\,dV + \int_{V} \nabla\cdot(\rho\mathbf{u})\,dV = 0.
  • Como a igualdade vale para qualquer volume de controle V, o integrando deve ser zero ponto a ponto. Logo obtemos a forma local (diferencial) da continuidade:
\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) = 0.}
  • Observação útil para provas: no caso incompressível com \rho= constante espacial e temporal, esta equação reduz-se a \nabla\cdot\mathbf{u}=0. Para ver isso, dividir a equação por \rho constante dá \nabla\cdot\mathbf{u}=0.

Passo 4

Dedução da equação de quantidade de movimento (forma integral de Navier–Stokes) — escrever balanço, aplicar Gauss.
  • Balanço integral de quantidade de movimento sobre V: taxa de variação de momentum dentro do volume mais o fluxo convectivo de momentum pela superfície é igual à soma das forças de corpo e das forças de superfície:
\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\mathbf{u}\,dV + \int_{\partial V}\rho\mathbf{u}\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{n})\,dS = \int_{V}\rho\mathbf{f}\,dV + \int_{\partial V}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\,dS.
A notação \rho\mathbf{u}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}) é um vetor cujo componente i é \rho u_i (\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}); representa o transporte de momentum pelo escoamento.
  • Para volume fixo, a derivada entra na integral:
\int_{V}\frac{\partial (\rho\mathbf{u})}{\partial t}\,dV + \int_{\partial V}\rho\mathbf{u}\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{n})\,dS = \int_{V}\rho\mathbf{f}\,dV + \int_{\partial V}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\,dS.
  • Aplicando o teorema de Gauss às integrais de superfície:
\int_{V}\frac{\partial (\rho\mathbf{u})}{\partial t}\,dV + \int_{V}\nabla\cdot(\rho\mathbf{u}\otimes\mathbf{u})\,dV = \int_{V}\rho\mathbf{f}\,dV + \int_{V}\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}\,dV.
Aqui (\rho\mathbf{u}\otimes\mathbf{u}) é o tensor cujo componente ij é \rho u_i u_j.
  • Igualando integrandos (válido para qualquer V) obtemos a forma local:
\boxed{\frac{\partial (\rho\mathbf{u})}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}\otimes\mathbf{u}) = \rho\mathbf{f} + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}.}
Essa é a forma geral de conservação de momento em termos do tensor de tensões \boldsymbol{\sigma}.

Passo 5

Manipulação para a forma convectiva (material derivative) e forma usual de Navier–Stokes.
  • Usamos a identidade que relaciona as derivadas:
\frac{\partial (\rho\mathbf{u})}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}\otimes\mathbf{u}) = \rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) + \mathbf{u}\left(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u})\right).
  • Mas a quantidade entre parênteses à direita, \dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}), é zero por continuidade (Passo 3). Portanto podemos simplificar:
\frac{\partial (\rho\mathbf{u})}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}\otimes\mathbf{u}) = \rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right).
  • Assim a forma local do balanço de momento fica
\boxed{\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) = \rho\mathbf{f} + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}.}
Isto já é a forma convectiva das equações de Navier–Stokes, válida para fluxo compressível com um \boldsymbol{\sigma} arbitrário.

Passo 6

Constituição do tensor de tensões para um fluido newtoniano e forma explícita de Navier–Stokes.
  • Separação do tensor de tensões:
\boldsymbol{\sigma} = -p\,\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau},
onde -p\mathbf{I} é a parte isotrópica (pressão) e \boldsymbol{\tau} é o tensor viscoso (parte dissipativa).
  • Para um fluido newtoniano isotrópico e compressível usa-se a lei linear mais geral:
\boldsymbol{\tau} = 2\mu\mathbf{S} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{u})\,\mathbf{I}, \qquad \mathbf{S} = \frac{1}{2}\left(\nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^{T}\right),
onde \mu é a viscosidade dinâmica e \lambda a segunda viscosidade (constante de volumétrica).
  • Então
\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} = -\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} = -\nabla p + \mu\nabla^{2}\mathbf{u} + (\mu+\lambda)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u})
quando \mu e \lambda são constantes.
  • Substituindo em (Passo 5) resulta a forma clássica:
\boxed{\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) = -\nabla p + \mu\nabla^{2}\mathbf{u} + (\mu+\lambda)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u}) + \rho\mathbf{f}.}
  • Caso especial frequentemente usado (fluido incompressível, \nabla\cdot\mathbf{u}=0, e \rho,\mu constantes) simplifica para
\boxed{\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) = -\nabla p + \mu\nabla^{2}\mathbf{u} + \rho\mathbf{f}.}

Passo 7

Dedução da equação da energia — escolha do tipo de energia e balanço integral.
  • Defino a energia total por unidade de massa \displaystyle e_{t} = e + \frac{1}{2}|\mathbf{u}|^{2}, onde e é a energia interna por unidade de massa.
  • Balanço integral de energia (forma geral): a taxa de variação da energia total dentro de V mais o fluxo convectivo pela superfície é igual ao trabalho das forças de corpo mais o trabalho das tensões de superfície mais o transporte de calor através da superfície mais fontes volumétricas:
\frac{d}{dt}\int_{V}\rho e_{t}\,dV + \int_{\partial V}\rho e_{t}\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}\,dS = \int_{V}\rho\mathbf{f}\cdot\mathbf{u}\,dV + \int_{\partial V}(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})\cdot\mathbf{u}\,dS - \int_{\partial V}\mathbf{q}\cdot\mathbf{n}\,dS + \int_{V}\rho r\,dV.
Termo por termo: trabalho de corpo \rho\mathbf{f}\cdot\mathbf{u}, potência de tensões superficiais (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})\cdot\mathbf{u}, fluxo de calor \mathbf{q} (sinal tal que -\mathbf{q}\cdot\mathbf{n} é calor entrando), e fonte volumétrica \rho r.
  • Novamente, para V fixo:
\int_{V}\frac{\partial (\rho e_{t})}{\partial t}\,dV + \int_{\partial V}\rho e_{t}\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}\,dS = \int_{V}\rho\mathbf{f}\cdot\mathbf{u}\,dV + \int_{\partial V}(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})\cdot\mathbf{u}\,dS - \int_{\partial V}\mathbf{q}\cdot\mathbf{n}\,dS + \int_{V}\rho r\,dV.
  • Aplicando Gauss às integrais de superfície:
\int_{V}\frac{\partial (\rho e_{t})}{\partial t}\,dV + \int_{V}\nabla\cdot(\rho e_{t}\mathbf{u})\,dV = \int_{V}\rho\mathbf{f}\cdot\mathbf{u}\,dV + \int_{V}\nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{u})\,dV - \int_{V}\nabla\cdot\mathbf{q}\,dV + \int_{V}\rho r\,dV.
  • Igualando integrandos obtemos a forma local (total de energia):
\boxed{\frac{\partial (\rho e_{t})}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho e_{t}\mathbf{u}) = \rho\mathbf{f}\cdot\mathbf{u} + \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{u}) - \nabla\cdot\mathbf{q} + \rho r.}

Passo 8

Passagem para a equação da energia interna e simplificações úteis.
  • Uso a identidade (Passo 2) sobre \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{u}):
\nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{u}) = (\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma})\cdot\mathbf{u} + \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{u}.
  • Substituo (\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma})\cdot\mathbf{u} usando a equação de momento (Passo 5) na forma
(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma})\cdot\mathbf{u} = \left[\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right)-\rho\mathbf{f}\right]\cdot\mathbf{u}.
  • Ao inserir isto na equação da energia total, os termos envolvendo \rho\mathbf{f}\cdot\mathbf{u} e a contribuição cinética se combinam e, após manipular (ver detalhes abaixo), obtém-se a equação para a energia interna e:
\boxed{\rho\left(\frac{\partial e}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla e\right) = \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{u} - \nabla\cdot\mathbf{q} + \rho r.}
  • Interpretação dos termos:
    • \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{u} é a taxa volumétrica de trabalho das tensões, que pode ser escrita como -p\,\nabla\cdot\mathbf{u} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{u}.
    • Para fluido newtoniano e incompressível ( \nabla\cdot\mathbf{u}=0) a parte de pressão desaparece e resta a dissipação viscosa \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{u}\ge 0.
    • Para transporte de calor com lei de Fourier, \mathbf{q} = -k\nabla T, tem-se -\nabla\cdot\mathbf{q} = \nabla\cdot(k\nabla T).
  • Resultado prático para um fluido newtoniano, incompressível e sem fontes volumétricas:
\rho\left(\frac{\partial e}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla e\right) = \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{u} + \nabla\cdot(k\nabla T).
Mas a forma geral e compacta a ser lembrada é a caixa do início deste passo.

Passo 9

Resumo das formas locais deduzidas e observações finais didáticas.
  • Recolhendo:
    1. Continuidade (conservação de massa):
    \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) = 0.
    1. Quantidade de movimento (Navier–Stokes, forma convectiva geral):
    \rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) = \rho\mathbf{f} + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma},com \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}. Para fluido newtoniano isotrópico com constantes \mu,\lambda: \rho\!\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) = -\nabla p + \mu\nabla^{2}\mathbf{u} + (\mu+\lambda)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u}) + \rho\mathbf{f}.
    1. Energia interna (forma local):
    \rho\left(\frac{\partial e}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla e\right) = \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{u} - \nabla\cdot\mathbf{q} + \rho r.
  • Observação prática para prova: a chave é começar das formas integrais (taxa de mudança dentro do volume = somatório de fluxos/forças pela superfície) e aplicar o teorema de Gauss para converter integrais de superfície em integrais de volume; em seguida use o fato de que a igualdade para qualquer volume implica igualdade dos integrandos (forma local). Para obter Navier–Stokes completo, insira uma lei constitutiva para \boldsymbol{\sigma} (por exemplo fluido newtoniano) e use continuidade para simplificar termos convectivos.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) = 0.
\displaystyle \rho\!\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) = \rho\mathbf{f} + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}.
\displaystyle \rho\!\left(\frac{\partial e}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla e\right) = \boldsymbol{\sigma}:\nabla\mathbf{u} - \nabla\cdot\mathbf{q} + \rho r.

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