Um tanque esférico de 1 metro de raio está cheio de água. Um furo foi feito no fundo do tanque e, 1 minuto depois, o nível de água caiu pela metade. Sabendo que o nível de água h ao longo do tempo satisfaz a EDO
Em quanto tempo o tanque ficará vazio?

Passo 1

O enunciado diz que temos um tanque esférico de raio 1 m, inicialmente cheio (altura de água h(0)=2 m), e que após 1 min a altura caiu para h(1)=1 m. A EDO que rege o escoamento é separável:
Conteúdo: equação de Torricelli e separação de variáveis para EDOs.

Passo 2

Começamos separando variáveis. A EDO é
dhdt=kraizhpi(2h-h^2)
Logo
pi(2h-h^2)dhraizh=k,dt
Observe que 2h-h^2=h(2-h), então (2h-h^2)/raizh=2raizh-h^3/2. Integramos de h=2 (t=0) até h (t):
integral2^hpi(2u-u^2)u^-1/2du=integral0^tk,dt
No lado esquerdo:
piintegral2^h(2u^1/2-u^3/2)du=pil[tfrac43u^3/2-tfrac25u^5/2r]2^h
No direito fica kt. Assim obtemos
t=pikl(tfrac43h^3/2-tfrac25h^5/2-l[tfrac432^3/2-tfrac252^5/2r]r)

Passo 3

Usando a condição t=1, h=1:
1=pikl(tfrac43cdot1^3/2-tfrac25cdot1^5/2-l[tfrac432^3/2-tfrac252^5/2r]r)
Calculando: tfrac43-tfrac25=tfrac1415 e tfrac432^3/2-tfrac252^5/2=tfrac16raiz215.
Então
1=pikl(tfrac1415-tfrac16raiz215r)=pi(14-16raiz2)15k,
logo k=pi(14-16raiz2)15 (é negativo, garantindo dh/dt<0).

Passo 4

Para achar o tempo T em que h(T)=0, voltamos à expressão de t(h) e definimos h=0:
T=pikl(0-l[tfrac432^3/2-tfrac252^5/2r]r)=-pikcdot16raiz215
Substituindo k obtemos
T=16raiz216raiz2-14=[sãominutos]ã
Podemos simplificar para T=8raiz28raiz2-7.

Passo 5

Convertendo para valor numérico dá aproximadamente Tapprox2,62 min.

Resposta

T=8raiz28raiz2-7 minutos (aprox. 2,62 min).

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