Um tanque esférico de 1 metro de raio está cheio de água. Um furo foi feito no fundo do tanque e, 1 minuto depois, o nível de água caiu pela metade. Sabendo que o nível de água
ao longo do tempo satisfaz a EDO
Em quanto tempo o tanque ficará vazio?
Passo 1
O enunciado diz que temos um tanque esférico de raio 1 m, inicialmente cheio (altura de água
m), e que após 1 min a altura caiu para
m. A EDO que rege o escoamento é separável:
Conteúdo: equação de Torricelli e separação de variáveis para EDOs.
Conteúdo: equação de Torricelli e separação de variáveis para EDOs.
Passo 2
Começamos separando variáveis. A EDO é
Logo
Observe que
, então
. Integramos de
(t=0) até
(t):
No lado esquerdo:
No direito fica
. Assim obtemos
Passo 3
Usando a condição
,
:
Calculando:
Então
logo
(é negativo, garantindo
).
Passo 4
Para achar o tempo
em que
, voltamos à expressão de
e definimos
:
Substituindo
Podemos simplificar para
.
Passo 5
Convertendo para valor numérico dá aproximadamente
min.