Um tanque em forma de cone com vértice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Um furo foi feito no fundo do tanque e 1 minuto depois o nível de água caiu pela metade.
Determine o nível de água h em função do tempo.

Passo 1

A questão fala de um tanque cônico de vértice pra baixo, altura 2
m e raio da base 1
m, que está cheio e começa a drenar por um furo no fundo. Em 1
min o nível cai de 2
m pra 1
m. A tarefa é achar h(t) usando o esvaziamento de um cone e a lei de Torricelli.

Passo 2

Pra relacionar o volume de água com a altura h, note que, por semelhança de triângulos, o raio do líquido r(h) satisfaz r/h = 1/2, ou seja r = h/2. Como o volume de um cone é V = (π·r²·h)/3, substituímos r = h/2 e obtemos:
V(h) = pi3l(h2r)^2h = pi12h^3

Passo 3

Agora aplicamos a lei de Torricelli: a velocidade de saída é v = \sqrt{2gh}, e a vazão é Q = a·v (a área do furo é a). Então
dVdt = -araiz2gh

Passo 4

Por outro lado
dVdt = ddtl(pi12h^3r) = pi4h^2dhdt

Passo 5

Igualando as duas expressões de dV/dt temos
pi4h^2dhdt = -araiz2g,h^1/2 Longrightarrow dhdt = -underbrace4araiz2gpik,h^-3/2

Passo 6

É uma equação separável:
integral h^3/2,dh = -kintegral dt Longrightarrow 25h^5/2 = -kt + C

Passo 7

Em t = 0 temos h(0)=2, logo
25,2^5/2 = C

Passo 8

Assim
25h^5/2 - 252^5/2 = -kt Longrightarrow h^5/2 = 2^5/2 - 5k2t

Passo 9

Em t = 1
min sabemos h(1)=1, então
1 = 2^5/2 - 5k2Rightarrow k = 25(2^5/2 - 1) = 8raiz2 - 25

Passo 10

Substituindo k volta na fórmula de h:
h^5/2 = 2^5/2 - (2^5/2-1)t Longrightarrow h(t) = l(2^5/2 - (2^5/2-1)tr)^2/5

Passo 11

Como 2^{5/2} = 4\sqrt2, podemos escrever de forma mais bonitinha:

Resposta

$$h(t) = \bigl(4\sqrt2 - (4\sqrt2 - 1),t\bigr)^{2/5}.
$$

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