Um tanque em forma de cone com vértice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Um furo foi feito no fundo do tanque e 1 minuto depois o nível de água caiu pela metade.
Determine o nível de água
em função do tempo.
Determine o nível de água
Passo 1
A questão fala de um tanque cônico de vértice pra baixo, altura 2
m e raio da base 1
m, que está cheio e começa a drenar por um furo no fundo. Em 1
min o nível cai de 2
m pra 1
m. A tarefa é achar h(t) usando o esvaziamento de um cone e a lei de Torricelli.
m e raio da base 1
m, que está cheio e começa a drenar por um furo no fundo. Em 1
min o nível cai de 2
m pra 1
m. A tarefa é achar h(t) usando o esvaziamento de um cone e a lei de Torricelli.
Passo 2
Pra relacionar o volume de água com a altura h, note que, por semelhança de triângulos, o raio do líquido r(h) satisfaz r/h = 1/2, ou seja r = h/2. Como o volume de um cone é V = (π·r²·h)/3, substituímos r = h/2 e obtemos:
Passo 3
Agora aplicamos a lei de Torricelli: a velocidade de saída é v = \sqrt{2gh}, e a vazão é Q = a·v (a área do furo é a). Então
Passo 4
Por outro lado
Passo 5
Igualando as duas expressões de dV/dt temos
Passo 6
É uma equação separável:
Passo 7
Em t = 0 temos h(0)=2, logo
Passo 8
Assim
Passo 9
Em t = 1
min sabemos h(1)=1, então
min sabemos h(1)=1, então
Passo 10
Substituindo k volta na fórmula de h:
Passo 11
Como 2^{5/2} = 4\sqrt2, podemos escrever de forma mais bonitinha:
Resposta
$$h(t) = \bigl(4\sqrt2 - (4\sqrt2 - 1),t\bigr)^{2/5}.
$$