Um tanque em forma de cone com vértice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Um furo foi feito no fundo do tanque e 1 minuto depois o nível de água caiu pela metade.
Em quanto tempo o tanque ficará vazio?
Em quanto tempo o tanque ficará vazio?
Passo 1
O problema envolve um tanque cônico invertido (vértice para baixo) de altura 2 m e raio da base 1 m, cheio de água, vazio por um furo no fundo. Depois de 1 min o nível de água cai de 2 m para 1 m. Vamos usar geometria do cone, a lei de Torricelli (velocidade de escoamento v=√(2gh)) e equacionar o balanço de volume para achar o tempo total de esvaziamento.
Passo 2
Para relacionar o volume V de água com a altura h do líquido, note que por semelhança de triângulos o raio r da seção em altura h satisfaz r/h=1/2, logo r=h/2. Assim,
Passo 3
A taxa de variação do volume é dV/dt, mas também podemos escrever dV/dt=(dV/dh)(dh/dt). Calculando dV/dh temos
Passo 4
Pela lei de Torricelli a vazão instantânea pelo furo de área a é Q=a\sqrt{2gh}, de modo que
Passo 5
Igualando as duas expressões para dV/dt:
Passo 6
Isolando dh/dt:
Passo 7
Separamos variáveis e integramos de h=2 (t=0) a h (tempo t):
Passo 8
A integral de h^{3/2} é
, então obtemos
Passo 9
Reorganizando para t como função de h:
Passo 10
Usando a condição experimental de que em t=1 min temos h=1 m, obtemos
Passo 11
Dessa equação determinamos a constante
.
Passo 12
Para o tempo total de esvaziamento T fazemos h=0 em t(h):
Passo 13
Calculando numericamente
, temos
Resposta
O tanque ficará vazio em aproximadamente 1,214 minutos (≈ 1 min 13 s).