Um tanque em forma de cone com vértice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Um furo foi feito no fundo do tanque e 1 minuto depois o nível de água caiu pela metade.
Em quanto tempo o tanque ficará vazio?

Passo 1

O problema envolve um tanque cônico invertido (vértice para baixo) de altura 2 m e raio da base 1 m, cheio de água, vazio por um furo no fundo. Depois de 1 min o nível de água cai de 2 m para 1 m. Vamos usar geometria do cone, a lei de Torricelli (velocidade de escoamento v=√(2gh)) e equacionar o balanço de volume para achar o tempo total de esvaziamento.

Passo 2

Para relacionar o volume V de água com a altura h do líquido, note que por semelhança de triângulos o raio r da seção em altura h satisfaz r/h=1/2, logo r=h/2. Assim,
V(h)=13pi r^2h=13pi$ h2$^2h=pi12h^3

Passo 3

A taxa de variação do volume é dV/dt, mas também podemos escrever dV/dt=(dV/dh)(dh/dt). Calculando dV/dh temos
dVdh=pi12 cdot 3h^2=pi4h^2

Passo 4

Pela lei de Torricelli a vazão instantânea pelo furo de área a é Q=a\sqrt{2gh}, de modo que
dVdt=-araiz2gh

Passo 5

Igualando as duas expressões para dV/dt:
pi4h^2dhdt=-araiz2g,h=-araiz2g,h^1/2

Passo 6

Isolando dh/dt:
dhdt=-4araiz2gpi,h^-3/2

Passo 7

Separamos variáveis e integramos de h=2 (t=0) a h (tempo t):
integral2^hh^3/2dh=-4araiz2gpiintegral0^tdt

Passo 8

A integral de h^{3/2} é 25h^5/2, então obtemos
25(h^5/2-2^5/2)=-4araiz2gpi,t

Passo 9

Reorganizando para t como função de h:
t=pi4araiz2g,25l(2^5/2-h^5/2r)

Passo 10

Usando a condição experimental de que em t=1 min temos h=1 m, obtemos
1=pi4araiz2g,25(2^5/2-1)

Passo 11

Dessa equação determinamos a constante dfracpi4araiz2g=dfrac52(2^5/2-1).

Passo 12

Para o tempo total de esvaziamento T fazemos h=0 em t(h):
T=52(2^5/2-1)cdot25,2^5/2=2^5/22^5/2-1

Passo 13

Calculando numericamente 2^5/2=4raiz2approx5,6569, temos
Tapprox5,65695,6569-1=5,65694,6569approx1,214 minutos

Resposta

O tanque ficará vazio em aproximadamente 1,214 minutos (≈ 1 min 13 s).

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