(\mathbf{2}, \mathbf{0}) Se u=F\left(\frac{y-x}{x y}, \frac{z-x}{x z}\right), determine
x^{2} \frac{\partial u}{\partial x}+y^{2} \frac{\partial u}{\partial y}+z^{2} \frac{\partial u}{\partial z}

Passo 1

O enunciado nos dá
u = F\Bigl(\frac{y - x}{x\,y}, \,\frac{z - x}{x\,z}\Bigr)
e pede para calcular
x^{2}\,\frac{\partial u}{\partial x} \;+\; y^{2}\,\frac{\partial u}{\partial y} \;+\; z^{2}\,\frac{\partial u}{\partial z}.
O conteúdo envolve derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Definimos os argumentos de F como
p = \frac{y - x}{x\,y}, \quad q = \frac{z - x}{x\,z}.
Podemos simplificar cada um:
p = \frac{y}{x\,y} - \frac{x}{x\,y} = \frac{1}{x} - \frac{1}{y}, \quad q = \frac{z}{x\,z} - \frac{x}{x\,z} = \frac{1}{x} - \frac{1}{z}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de p e q em relação a x,y,z:
p = \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \;\Longrightarrow\; p_x = -\frac{1}{x^2},\; p_y = \frac{1}{y^2},\; p_z = 0.
q = \frac{1}{x} - \frac{1}{z} \;\Longrightarrow\; q_x = -\frac{1}{x^2},\; q_y = 0,\; q_z = \frac{1}{z^2}.

Passo 4

Pela regra da cadeia, se denotamos
\displaystyle F_p = \frac{\partial F}{\partial p} e
\displaystyle F_q = \frac{\partial F}{\partial q}, então
u_x = F_p\,p_x + F_q\,q_x = -\frac{F_p + F_q}{x^2},
u_y = F_p\,p_y + F_q\,q_y = \frac{F_p}{y^2},
u_z = F_p\,p_z + F_q\,q_z = \frac{F_q}{z^2}.

Passo 5

Agora formamos
x^{2}u_x + y^{2}u_y + z^{2}u_z = x^{2}\Bigl(-\frac{F_p + F_q}{x^2}\Bigr) + y^{2}\Bigl(\frac{F_p}{y^2}\Bigr) + z^{2}\Bigl(\frac{F_q}{z^2}\Bigr).
Isso simplifica para
-(F_p+F_q) + F_p + F_q = 0.

Resposta

0

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