Dada a função f: X Y, suponha que g, h: Y X são funções tais que g(f(x))=x para todo x in X e f(h(y))=y para todo y in Y. Prove que g=h.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função $ f: X \rightarrow Y $ e duas funções $ g, h: Y \rightarrow X $ que interagem com $ f $ de maneira específica: $ g(f(x)) = x $ para todo $ x \in X $ e $ f(h(y)) = y $ para todo $ y \in Y $. O objetivo aqui é provar que essas duas funções, $ g $ e $ h $, são iguais. Vamos precisar usar conceitos de funções inversas e propriedades de composição de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essas equações estão nos dizendo. A equação $ g(f(x)) = x $ para todo $ x \in X $ sugere que $ g $ “desfaz” a ação de $ f $. Ou seja, se você aplicar $ f $ a $ x $ e depois aplicar $ g $ ao resultado, você volta ao $ x $ original. Isso é uma característica de funções inversas.

Passo 3

Da mesma forma, a equação $ f(h(y)) = y $ para todo $ y \in Y $ indica que $ h $ “desfaz” a ação de $ f $ quando aplicada a $ y $. Isto significa que $ h $ também age como uma espécie de inversa para $ f $, mas dessa vez funcionando do lado de $ Y $.

Passo 4

Sabemos que se duas funções agem como inversas uma da outra, elas devem ser iguais. Ou seja, se $ g $ e $ h $ ambas estão “desfazendo” $ f $, então elas devem fazer exatamente a mesma coisa. Para provar isso formalmente, podemos mostrar que para qualquer elemento $ y \in Y $, $ g(y) = h(y) $.

Passo 5

Vamos escolher um $ y $ qualquer em $ Y $. Queremos mostrar que $ g(y) = h(y) $. Sabemos que $ f(h(y)) = y $, então se aplicarmos $ g $ nos dois lados dessa equação, temos:
y

Passo 6

Mas, de acordo com a primeira equação, $ g(f(x)) = x $ para todo $ x \in X $. Aplicando isso aí, temos:
g(f(x)) = x
Então substituindo na equação anterior:
x in X

Passo 7

Como escolhemos um $ y $ qualquer em $ Y $ e mostramos que $ h(y) = g(y) $, isso significa que $ g $ e $ h $ são iguais para todos os elementos de $ Y $. Portanto, concluímos que $ g = h $.

Resposta

$ g = h $

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