Um tanque em forma de cone com vértice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Um furo foi feito no fundo do tanque e 1 minuto depois o nível de água caiu pela metade.
a) Determine o nível de água em função do tempo.
b) Em quanto tempo o tanque ficará vazio?
Passo 1
A questão descreve um tanque cônico invertido (vértice para baixo) de altura 2 m e raio da base 1 m, que é esvaziado por um furo no vértice. Depois de 1 minuto o nível de água cai à metade. Precisamos usar equações diferenciais e a Lei de Torricelli para achar h(t) e o tempo total de esvaziamento.
Passo 2
Em um cone semelhante, o raio da superfície livre de água r se relaciona com a altura h por semelhança de triângulos: r/R = h/H. Aqui R=1 e H=2, então r = (1/2)·h.
Passo 3
O volume de água até altura h é o volume de um cone de base r e altura h:
Passo 4
Pela Lei de Torricelli, a vazão pelo furo é Q = a·v = a\sqrt{2gh}, e isso faz dV/dt = -a\sqrt{2gh}. Usamos dV/dt = (dV/dh)(dh/dt), onde
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Passo 5
Integramos a equação diferencial
dhdt = -k,h^-3/2
separando variáveis: integral h^3/2,dh = -kintegral dt Longrightarrow 25h^5/2 = -k t + C
Com h(0)=2, obtemos
C = 25,2^5/2 = 8raiz25,
logo h^5/2 = -5k2t + 4raiz2