1. Um tanque em forma de cone com vértice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Um furo foi feito no fundo do tanque e 1 minuto depois o nível de água caiu pela metade.
    a) Determine o nível de água h em função do tempo.
    b) Em quanto tempo o tanque ficará vazio?

Passo 1

A questão descreve um tanque cônico invertido (vértice para baixo) de altura 2 m e raio da base 1 m, que é esvaziado por um furo no vértice. Depois de 1 minuto o nível de água cai à metade. Precisamos usar equações diferenciais e a Lei de Torricelli para achar h(t) e o tempo total de esvaziamento.

Passo 2

Em um cone semelhante, o raio da superfície livre de água r se relaciona com a altura h por semelhança de triângulos: r/R = h/H. Aqui R=1 e H=2, então r = (1/2)·h.

Passo 3

O volume de água até altura h é o volume de um cone de base r e altura h:
V(h)=13pi,r^2,h = 13pi,l(tfrac h2r)^2,h = pi12,h^3

Passo 4

Pela Lei de Torricelli, a vazão pelo furo é Q = a·v = a\sqrt{2gh}, e isso faz dV/dt = -a\sqrt{2gh}. Usamos dV/dt = (dV/dh)(dh/dt), onde
dVdh = pi4,h^2
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dhdt = -araiz2g,h^1/2(pi/4)h^2 = -underbrace4araiz2gpi=k;h^-3/2

Passo 5

Integramos a equação diferencial
dhdt = -k,h^-3/2
separando variáveis:
integral h^3/2,dh = -kintegral dt Longrightarrow 25h^5/2 = -k t + C
Com h(0)=2, obtemos
C = 25,2^5/2 = 8raiz25,
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h^5/2 = -5k2t + 4raiz2

Passo 6

Usando a condição h(1)=1 em
1 = -5k2cdot1 + 4raiz2
achamos
k = 25,(4raiz2 - 1)
Então a solução fica
h(t)^5/2 = 4raiz2 - (4raiz2 - 1),t,
ou em função explícita
h(t) = l[4raiz2 - (4raiz2 - 1)tr]^2/5

Passo 7

Para achar o tempo de esvaziar, imponha h(t_e)=0 no interior do colchete:
4raiz2 - (4raiz2 - 1)te = 0 Longrightarrow te = 4raiz24raiz2 - 1

Resposta

a) h(t)=l[4raiz2 - (4raiz2 - 1),tr]^2/5
b) tvazio=4raiz24raiz2 - 1approx1,215 minutos

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