Um tanque grande de 500l contém, inicialmente, 300l de água pura. Uma mistura contendo uma concentração de 10 g / l de sal entra no tanque a uma vazão de 2 l / min, outra mistura contendo uma concentração de 1 /(t+100) g / l de sal entra no tanque a uma vazão de 1 l / min. Essa mistura, bem mexida, sai do tanque com uma vasão de 2 l / min.
Identifique as quantidades variáveis e taxas de variação envolvidas no problema.

Passo 1

O problema é sobre um tanque de mistura com capacidade de 500 L, que inicialmente contém 300 L de água pura. Entra uma corrente de 2 L/min com concentração de 10 g/L e outra de 1 L/min com concentração variável 1/(t+100) g/L; sai mistura a 2 L/min. O conteúdo estudado é EDO de mistura, e vamos precisar definir variáveis para volume e quantidade de sal e escrever suas taxas de variação.

Passo 2

Definimos como variáveis dependentes do tempo t (min): o volume de líquido no tanque V(t) (em L) e a quantidade de sal no tanque S(t) (em g). O tempo t é a variável independente.

Passo 3

Analisando as vazões de volume: entram 2 L/min + 1 L/min e sai 2 L/min. Portanto a taxa de variação do volume é dada por diferença entre vazões de entrada e saída.

Passo 4

Analisando a quantidade de sal: chega sal a uma taxa de 2 L/min·10 g/L = 20 g/min e 1 L/min·(1/(t+100)) g/L = 1/(t+100) g/min; sai sal na concentração S(t)/V(t) multiplicada por 2 L/min. Assim obtemos a taxa de variação do sal.

Resposta

Variáveis:
  • Tempo: t (min)
  • Volume no tanque: V(t) (L)
  • Quantidade de sal: S(t) (g)
Vazões:
  • Entrada de volume: 2 L/min (concentração 10 g/L) e 1 L/min (concentração 1/(t+100) g/L)
  • Saída de volume: 2 L/min (concentração no tanque)
Taxas de variação:
dVdt=2+1-2=1(L/min)
dSdt=2cdot10+1cdot1t+100-2cdotS(t)V(t)=20+1t+100-2,S(t)V(t)(g/min)

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