Exercício 5. (OBJETIVA - 2023) Considerando-se os conjuntos numéricos
analisar os itens abaixo:
(I) O conjunto numérico
.
(II) O conjunto numérico
.
(III) O conjunto numérico
.
(IV) O conjunto numérico
.
Quais itens estão CORRETOS?
(I) O conjunto numérico
(II) O conjunto numérico
(III) O conjunto numérico
(IV) O conjunto numérico
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três conjuntos numéricos:
E quatro afirmações sobre esses conjuntos relacionados a diferentes conjuntos de números:
-
(A é um subconjunto dos números naturais) -
(B é um subconjunto dos números racionais) -
(B não é um subconjunto dos números naturais) -
(C é um subconjunto dos números inteiros)
Vamos analisar cada uma dessas afirmações para ver quais estão corretas. Para isso, precisamos entender o que são esses conjuntos numéricos:
-
Números Naturais (
): São os números usados para contar, começando por 0 ou 1 (dependendo da definição). Exemplos: 0, 1, 2, 3, … -
Números Inteiros (
): Incluem todos os números naturais, seus opostos (negativos) e zero. Exemplos: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … -
Números Racionais (
): São números que podem ser escritos como frações , onde e são inteiros e . Exemplos: , -3, 4.75, etc.
Passo 2
Vamos analisar a Afirmação I:
Primeiro, vamos ver o que tem no conjunto
:
Calculando
:
Então,
Agora, lembrando que os Números Naturais começam geralmente em 0 ou 1 e incluem apenas números positivos. Mas
não inclui números negativos.
No conjunto
, temos
e
, que são negativos.
Conclusão: Nem todos os elementos de
são números naturais. Portanto, a afirmação I está errada.
Passo 3
Vamos para a Afirmação II:
Primeiro, vamos ver o que tem no conjunto
:
Calculando
e
:
Então,
(note que 2 se repete, mas conjuntos não têm elementos repetidos, então
)
Os Números Racionais incluem todos os números que podem ser expressos como frações.
é uma fração, e 2 pode ser escrito como
, que também é uma fração.
Conclusão: Todos os elementos de
são números racionais. Portanto, a afirmação II está certa.
Passo 4
Agora, a Afirmação III:
Isso significa que
não é um subconjunto dos números naturais.
Vamos lembrar o que temos em
:
Os Números Naturais são 0, 1, 2, 3, …
Analisando os elementos:
-
não é um número natural. -
é um número natural.
Como nem todos os elementos de
são números naturais (especificamente,
não é),
não é um subconjunto de
.
Conclusão: A afirmação III está certa.
Passo 5
Por último, a Afirmação IV:
Vejamos o que tem no conjunto
:
Os Números Inteiros incluem todos os números positivos, negativos e zero, sem casas decimais ou frações.
Analisando os elementos de
:
-
é inteiro. -
é inteiro. -
é inteiro.
Conclusão: Todos os elementos de
são números inteiros. Portanto, a afirmação IV está certa.
Resposta
As afirmações II, III e IV estão corretas.