Exercício 5. (OBJETIVA - 2023) Considerando-se os conjuntos numéricos
A=-1,0,1,20,-raiz400, B=5 / 2,10 / 5, raiz4 e C=-1,-10,-30
analisar os itens abaixo:
(I) O conjunto numérico A subseteq N.
(II) O conjunto numérico B subseteq Q.
(III) O conjunto numérico B nsubseteq N.
(IV) O conjunto numérico C subseteq Z.
Quais itens estão CORRETOS?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três conjuntos numéricos:
A = -1, 0, 1, 20, -raiz400, B = 52, 105, raiz4, C = -1, -10, -30
E quatro afirmações sobre esses conjuntos relacionados a diferentes conjuntos de números:
  1. A subseteq N (A é um subconjunto dos números naturais)
  2. B subseteq Q (B é um subconjunto dos números racionais)
  3. B nsubseteq N (B não é um subconjunto dos números naturais)
  4. C subseteq Z (C é um subconjunto dos números inteiros)
Vamos analisar cada uma dessas afirmações para ver quais estão corretas. Para isso, precisamos entender o que são esses conjuntos numéricos:
  • Números Naturais ( N ): São os números usados para contar, começando por 0 ou 1 (dependendo da definição). Exemplos: 0, 1, 2, 3, …
  • Números Inteiros ( Z ): Incluem todos os números naturais, seus opostos (negativos) e zero. Exemplos: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
  • Números Racionais ( Q ): São números que podem ser escritos como frações ab, onde a e b são inteiros e b neq 0 . Exemplos: 12, -3, 4.75, etc.

Passo 2

Vamos analisar a Afirmação I: A subseteq N
Primeiro, vamos ver o que tem no conjunto A :
A = -1, 0, 1, 20, -raiz400
Calculando -raiz400:
raiz400 = 20 implies -raiz400 = -20
Então, A = -1, 0, 1, 20, -20
Agora, lembrando que os Números Naturais começam geralmente em 0 ou 1 e incluem apenas números positivos. Mas N não inclui números negativos.
No conjunto A , temos -1 e -20, que são negativos.
Conclusão: Nem todos os elementos de A são números naturais. Portanto, a afirmação I está errada.

Passo 3

Vamos para a Afirmação II: B subseteq Q
Primeiro, vamos ver o que tem no conjunto B :
B = 52, 105, raiz4
Calculando 105 e raiz4:
105 = 2 e raiz4 = 2
Então, B = 52, 2, 2 (note que 2 se repete, mas conjuntos não têm elementos repetidos, então B = 52, 2 )
Os Números Racionais incluem todos os números que podem ser expressos como frações. 52 é uma fração, e 2 pode ser escrito como 21, que também é uma fração.
Conclusão: Todos os elementos de B são números racionais. Portanto, a afirmação II está certa.

Passo 4

Agora, a Afirmação III: B nsubseteq N
Isso significa que B não é um subconjunto dos números naturais.
Vamos lembrar o que temos em B :
B = 52, 2
Os Números Naturais são 0, 1, 2, 3, …
Analisando os elementos:
  • 52 = 2.5 não é um número natural.
  • 2 é um número natural.
Como nem todos os elementos de B são números naturais (especificamente, 52 não é), B não é um subconjunto de N .
Conclusão: A afirmação III está certa.

Passo 5

Por último, a Afirmação IV: C subseteq Z
Vejamos o que tem no conjunto C :
C = -1, -10, -30
Os Números Inteiros incluem todos os números positivos, negativos e zero, sem casas decimais ou frações.
Analisando os elementos de C :
  • -1 é inteiro.
  • -10 é inteiro.
  • -30 é inteiro.
Conclusão: Todos os elementos de C são números inteiros. Portanto, a afirmação IV está certa.

Resposta

As afirmações II, III e IV estão corretas.

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