Um tanque grande de 500l contém, inicialmente,
de água pura. Uma mistura contendo uma concentração de
de sal entra no tanque a uma vazão de
, outra mistura contendo uma concentração de
de sal entra no tanque a uma vazão de
. Essa mistura, bem mexida, sai do tanque com uma vasão de
.
Encontre o PVI que descreve a situação apresentada. Não é preciso resolver, somente escrever o PVI em termos dos dados do problema.
Encontre o PVI que descreve a situação apresentada. Não é preciso resolver, somente escrever o PVI em termos dos dados do problema.
Passo 1
A ideia aqui é modelar um tanque onde varia tanto o volume quanto a quantidade de sal. O conteúdo é equações diferenciais de mistura. Vamos definir a incógnita e os dados que precisamos: a função incógnita é a quantidade de sal
em gramas no instante
. Sabemos os fluxos de entrada e saída e as concentrações de cada fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o volume
dentro do tanque e as taxas de entrada e saída de sal. Como entram
e
e sai
, temos
com condição inicial
, logo
A taxa de entrada de sal é a soma de duas contribuições:
– Mistura 1: concentração a
→
.
– Mistura 2: concentração a
→
A saída de sal é a concentração no tanque vezes o fluxo de saída de
, ou seja
.
– Mistura 1: concentração
– Mistura 2: concentração
A saída de sal é a concentração no tanque
Passo 3
Agora montamos o PVI montando a balança de sal (taxa de entrada menos taxa de saída) e a condição inicial. Ficamos com
com