Um tanque grande de 500l contém, inicialmente, 300l de água pura. Uma mistura contendo uma concentração de 10 g / l de sal entra no tanque a uma vazão de 2 l / min, outra mistura contendo uma concentração de 1 /(t+100) g / l de sal entra no tanque a uma vazão de 1 l / min. Essa mistura, bem mexida, sai do tanque com uma vasão de 2 l / min.
Encontre o PVI que descreve a situação apresentada. Não é preciso resolver, somente escrever o PVI em termos dos dados do problema.

Passo 1

A ideia aqui é modelar um tanque onde varia tanto o volume quanto a quantidade de sal. O conteúdo é equações diferenciais de mistura. Vamos definir a incógnita e os dados que precisamos: a função incógnita é a quantidade de sal S(t) em gramas no instante t. Sabemos os fluxos de entrada e saída e as concentrações de cada fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o volume V(t) dentro do tanque e as taxas de entrada e saída de sal. Como entram 2 l/min e 1 l/min e sai 2 l/min, temos
V'(t)=2+1-2=1
com condição inicial V(0)=300, logo
V(t)=300+t
A taxa de entrada de sal é a soma de duas contribuições:
– Mistura 1: concentração 10 g/l a 2 l/min 10cdot2=20 g/min.
– Mistura 2: concentração 1/(t+100) g/l a 1 l/min 1/(t+100) g/min
A saída de sal é a concentração no tanque S(t)/V(t) vezes o fluxo de saída de 2 l/min, ou seja 2,S(t)/(300+t).

Passo 3

Agora montamos o PVI montando a balança de sal (taxa de entrada menos taxa de saída) e a condição inicial. Ficamos com
dSdt=20+1t+100-2S(t)300+t,
com
S(0)=0

Resposta

dSdt=20+1t+100-2S(t)300+t, S(0)=0

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