Determinar o comprimento de arco da seguinte curva:
r(t)=t i+sen t j+(1+cos t) k, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva dada por r(t) = t,i + sin t,j + (1 + cos t),k no intervalo de t de 0 a 2pi. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo vetorial, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento de arco de uma curva vetorial r(t), usamos a fórmula:
L = integrala^b |r,'(t)|,dt
Aqui, r,'(t) é a derivada da função vetor em relação a t, e |r,'(t)| representa o módulo dessa derivada.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de r(t). Temos:
r(t) = t,i + sin t,j + (1 + cos t),k
Derivando cada componente em relação a t:
r,'(t) = ddt(t),i + ddt(sin t),j + ddt(1 + cos t),k = 1,i + cos t,j - sin t,k

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo da derivada |r,'(t)|:
|r,'(t)| = raiz(1)^2 + (cos t)^2 + (-sin t)^2 = raiz1 + cos^2 t + sin^2 t
Sabemos que cos^2 t + sin^2 t = 1, então:
|r,'(t)| = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 5

Com o módulo da derivada encontrado, podemos substituir na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^2pi raiz2,dt = raiz2 integral0^2pi dt

Passo 6

Resolvendo a integral:
raiz2 integral0^2pi dt = raiz2 cdot [t]0^2pi = raiz2 cdot (2pi - 0) = 2piraiz2

Resposta

O comprimento do arco da curva é 2piraiz2.

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