Determinar o comprimento de arco da seguinte curva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva dada por
no intervalo de
de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo vetorial, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento de arco de uma curva vetorial
, usamos a fórmula:
Aqui,
é a derivada da função vetor em relação a
, e
representa o módulo dessa derivada.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Temos:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o módulo da derivada
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Com o módulo da derivada encontrado, podemos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Passo 6
Resolvendo a integral:
Resposta
O comprimento do arco da curva é
.