Um tanque industrial para líquidos contém 2000 litros de uma solução contendo 40 kg de determinado soluto. É despejada no tanque, à uma vazão de 1 litro por minuto, uma solução do mesmo soluto com concentração de 100 gramas por litro. A mistura é mantida homogênea e simultaneamente retirada, à vazão de 2 litros por minuto.
Verifique o comportamento da quantidade de soluto e da concentração ao longo do tempo.
Verifique o comportamento da quantidade de soluto e da concentração ao longo do tempo.
Passo 1
O enunciado fala de um tanque com volume variável: começa com 2000 L contendo 40 kg de soluto, entra solução a 1 L/min com 100 g/L e sai mistura a 2 L/min. O conteúdo é Equações Diferenciais de primeira ordem aplicadas a problemas de mistura com volume não constante. Vamos precisar montar a equação diferencial para a quantidade de soluto A(t).
Passo 2
A taxa de variação A′(t) é igual ao que entra menos o que sai. Como a concentração da entrada é 100 g/L = 0,1 kg/L e a vazão de entrada é 1 L/min, entra 0,1 kg/min. A concentração no tanque é A(t)/V(t) com V(t)=2000−t, e a vazão de saída é 2 L/min, então sai
kg/min. Assim montamos:
Passo 3
Essa é uma EDO linear da forma
com
. O fator integrante é
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Isolando A(t):
Usando A(0)=40 kg:
Logo
$$A(t)=0.1(2000-t)-4\times10{-5}(2000-t)2.
$$
Passo 5
A concentração é
. Dividindo por
:
Isso mostra que A(t) é uma parábola que cresce até t=750 min (vértice) e depois decresce até zero em t=2000 min, enquanto C(t) cresce de forma linear ao longo do tempo.
Passo 6
Resumo do comportamento: A(t) aumenta até 750 min, depois cai até 0 em 2000 min; C(t) cresce linearmente de 0.02 para 0.1 kg/L quando o tanque esvazia.
Resposta
A quantidade de soluto é
A concentração é
A(t) cresce até t=750 min e depois decresce até zero em t=2000 min, enquanto C(t) cresce linearmente no intervalo.