Um tanque industrial para líquidos contém 2000 litros de uma solução contendo 40 kg de determinado soluto. É despejada no tanque, à uma vazão de 1 litro por minuto, uma solução do mesmo soluto com concentração de 100 gramas por litro. A mistura é mantida homogênea e simultaneamente retirada, à vazão de 2 litros por minuto.
Verifique o comportamento da quantidade de soluto e da concentração ao longo do tempo.

Passo 1

O enunciado fala de um tanque com volume variável: começa com 2000 L contendo 40 kg de soluto, entra solução a 1 L/min com 100 g/L e sai mistura a 2 L/min. O conteúdo é Equações Diferenciais de primeira ordem aplicadas a problemas de mistura com volume não constante. Vamos precisar montar a equação diferencial para a quantidade de soluto A(t).

Passo 2

A taxa de variação A′(t) é igual ao que entra menos o que sai. Como a concentração da entrada é 100 g/L = 0,1 kg/L e a vazão de entrada é 1 L/min, entra 0,1 kg/min. A concentração no tanque é A(t)/V(t) com V(t)=2000−t, e a vazão de saída é 2 L/min, então sai 2A(t)2000-t kg/min. Assim montamos:
A'(t)=0.1-2A(t)2000-t

Passo 3

Essa é uma EDO linear da forma A'+p(t)A=q(t) com p(t)=22000-t. O fator integrante é
mu(t)=expl(integral22000-t,dtr)=expl(-2ln(2000-t)r)=(2000-t)^-2 Multiplicando a EDO por mu(t) e reconhecendo a derivada de A(2000-t)^-2, obtemos
ddtl(A(2000-t)^2r)=0.1(2000-t)^2

Passo 4

Integramos ambos os lados:
A(2000-t)^2=integral0.1(2000-t)^2,dt=0.12000-t+C
Isolando A(t):
A(t)=0.1(2000-t)+C(2000-t)^2
Usando A(0)=40 kg:
40=0.1cdot2000+Ccdot2000^2implies C=-4times10^-5
Logo
$$A(t)=0.1(2000-t)-4\times10{-5}(2000-t)2.
$$

Passo 5

A concentração é C(t)=A(t)/V(t). Dividindo por 2000-t:
C(t)=0.1-4times10^-5(2000-t)=0.02+4times10^-5t(kg/L)
Isso mostra que A(t) é uma parábola que cresce até t=750 min (vértice) e depois decresce até zero em t=2000 min, enquanto C(t) cresce de forma linear ao longo do tempo.

Passo 6

Resumo do comportamento: A(t) aumenta até 750 min, depois cai até 0 em 2000 min; C(t) cresce linearmente de 0.02 para 0.1 kg/L quando o tanque esvazia.

Resposta

A quantidade de soluto é
A(t)=0.1(2000-t)-4times10^-5(2000-t)^2(kg)
A concentração é
C(t)=0.02+4times10^-5t(kg/L)
A(t) cresce até t=750 min e depois decresce até zero em t=2000 min, enquanto C(t) cresce linearmente no intervalo.

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