(vale 4,0 pts ) square Considere a equação
(t+1) y^prime prime+t^2 y=0
(a) (1,5 pts) Determine a fórmula de recorrência para os coeficientes da série de potências de t que define a solução (geral) desta EDO.
(b) (1,5 pt) A partir da fórmula de recorrência determinada no item anterior, encontre os coeficientes da série.
© (0,5 pt) Determine a solução geral da EDO dada.
(d) (0,5 pt) Qual o intervalo de convergência das soluções dadas pelo item anterior?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
(t + 1)y'' + t^2 y = 0
O que a gente vai fazer aqui é usar séries de potências para encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar escrever $ y $ como uma série em potências de $ t $ e descobrir uma relação entre os coeficientes dessa série. Isso envolve um pouco de cálculo e manipulação algébrica, mas vou te guiar passo a passo!

Passo 2

(a) Encontrar a fórmula de recorrência para os coeficientes da série de potências

Primeiro, a gente assume que a solução $ y(t) $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ t = 0 $:
y(t)
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(t) $:
t = 0
y(t) = sumn=0^infty an t^n
Substituindo $ y(t) $ e $ y’’(t) $ na equação diferencial:
y(t)
Distribuindo $ (t + 1) $:
y'(t) = sumn=1^infty n an t^n-1
Agora, vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham o mesmo expoente de $ t $. Vamos fazer substituições de índices:
Para o primeiro termo, deixe $ k = n - 2 $:
y''(t) = sumn=2^infty n(n-1) an t^n-2
Para o segundo termo, deixe $ k = n - 1 $:
y(t)
Para o terceiro termo, deixe $ k = n + 2 $:
y''(t)
Agora, reescrevemos tudo com $ k $ como índice:
(t + 1)( sumn=2^infty n(n-1) an t^n-2 ) + t^2 ( sumn=0^infty an t^n ) = 0
Para igualar a zero, os coeficientes de cada potência de $ t^k $ devem ser iguais a zero. Observando $ k = 0 $, temos:
(t + 1)
Para $ k \geq 1 $:
sumn=2^infty n(n-1) an t^n-2 + sumn=2^infty n(n-1) an t^n-1 + sumn=0^infty an t^n+2 = 0
Resolvendo para $ a_{k+2} $:
t
Essa é a fórmula de recorrência que relaciona os coeficientes da série.

Passo 3

(b) Encontrar os coeficientes da série usando a fórmula de recorrência

Vamos começar encontrando os coeficientes $ a_n $ usando a fórmula que achamos:
an
Começamos definindo os primeiros coeficientes. Normalmente, escolhemos $ a_0 $ e $ a_1 $ como constantes arbitrárias (pois a solução geral terá duas constantes). Vamos assumir $ a_0 = C $ e $ a_1 = D $.
  1. Para $ k = 0 $: ak+2 = - (k+1)k ak+1 - ak-2 (k+2)(k+1)
  2. Para $ k = 1 $: a0 (Aqui, consideramos $ a_{-1} = 0 $ já que não existe.)
  3. Para $ k = 2 $: a1
  4. Para $ k = 3 $: a0 = C
  5. Para $ k = 4 $: a1 = D
E assim por diante. A série fica:
k = 0

Passo 4

© Determinar a solução geral da EDO

Com os coeficientes que encontramos, a solução geral da equação diferencial é a combinação das séries obtidas:
y(t) = C (1 - t^412 + cdots ) + D (t + t^520 + cdots )
Aqui, $ C $ e $ D $ são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 5

(d) Determinar o intervalo de convergência das soluções

Para séries de potências, o intervalo de convergência depende do ponto em que a série é expandida e das propriedades dos coeficientes. No nosso caso, como a série é em torno de $ t = 0 $ e os coeficientes $ a_n $ decaem conforme $ n $ aumenta, a série converge para todos os valores de $ t $ onde os termos não se tornam infinitos.
Analisando a equação original, os pontos problemáticos são onde o coeficiente de $ y’’ $ se anula, ou seja, quando $ t + 1 = 0 $ t = 0 $ t = -1 $. Portanto, o intervalo de convergência é até o ponto mais próximo singular, que é $ t = -1 $.
Então, o intervalo de convergência é:
an

Resposta

Resumindo, a solução geral da equação diferencial
(t + 1)y'' + t^2 y = 0
pode ser expressa como uma série de potências:
y(t) = C (1 - t^412 + cdots ) + D (t + t^520 + cdots )
com $ C $ e $ D $ constantes arbitrárias, válida no intervalo $ -1 < t < \infty $.

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