(vale
)
Considere a equação
(a) (1,5 pts) Determine a fórmula de recorrência para os coeficientes da série de potências de t que define a solução (geral) desta EDO.
(b)
A partir da fórmula de recorrência determinada no item anterior, encontre os coeficientes da série.
©
Determine a solução geral da EDO dada.
(d)
Qual o intervalo de convergência das soluções dadas pelo item anterior?
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
O que a gente vai fazer aqui é usar séries de potências para encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar escrever $ y $ como uma série em potências de $ t $ e descobrir uma relação entre os coeficientes dessa série. Isso envolve um pouco de cálculo e manipulação algébrica, mas vou te guiar passo a passo!
Passo 2
(a) Encontrar a fórmula de recorrência para os coeficientes da série de potências
Primeiro, a gente assume que a solução $ y(t) $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ t = 0 $:
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(t) $:
Substituindo $ y(t) $ e $ y’’(t) $ na equação diferencial:
Distribuindo $ (t + 1) $:
Agora, vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham o mesmo expoente de $ t $. Vamos fazer substituições de índices:
Para o primeiro termo, deixe $ k = n - 2 $:
Para o segundo termo, deixe $ k = n - 1 $:
Para o terceiro termo, deixe $ k = n + 2 $:
Agora, reescrevemos tudo com $ k $ como índice:
Para igualar a zero, os coeficientes de cada potência de $ t^k $ devem ser iguais a zero. Observando $ k = 0 $, temos:
Para $ k \geq 1 $:
Resolvendo para $ a_{k+2} $:
Essa é a fórmula de recorrência que relaciona os coeficientes da série.
Passo 3
(b) Encontrar os coeficientes da série usando a fórmula de recorrência
Vamos começar encontrando os coeficientes $ a_n $ usando a fórmula que achamos:
Começamos definindo os primeiros coeficientes. Normalmente, escolhemos $ a_0 $ e $ a_1 $ como constantes arbitrárias (pois a solução geral terá duas constantes). Vamos assumir $ a_0 = C $ e $ a_1 = D $.
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
(Aqui, consideramos $ a_{-1} = 0 $ já que não existe.) - Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
- Para $ k = 4 $:
E assim por diante. A série fica:
Passo 4
© Determinar a solução geral da EDO
Com os coeficientes que encontramos, a solução geral da equação diferencial é a combinação das séries obtidas:
Aqui, $ C $ e $ D $ são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 5
(d) Determinar o intervalo de convergência das soluções
Para séries de potências, o intervalo de convergência depende do ponto em que a série é expandida e das propriedades dos coeficientes. No nosso caso, como a série é em torno de $ t = 0 $ e os coeficientes $ a_n $ decaem conforme $ n $ aumenta, a série converge para todos os valores de $ t $ onde os termos não se tornam infinitos.
Analisando a equação original, os pontos problemáticos são onde o coeficiente de $ y’’ $ se anula, ou seja, quando $ t + 1 = 0 $
$ t = -1 $. Portanto, o intervalo de convergência é até o ponto mais próximo singular, que é $ t = -1 $.
Então, o intervalo de convergência é:
Resposta
Resumindo, a solução geral da equação diferencial
pode ser expressa como uma série de potências:
com $ C $ e $ D $ constantes arbitrárias, válida no intervalo $ -1 < t < \infty $.