(vale
)
Considere a equação
(a) (1,0 pt) Mostre que
é ponto singular regular desta EDO.
(b)
Determine a equação indicial correspondente a
.
© (2,0 pts) Escreva uma solução correspondente a menor raiz da equação indicial acima.
(d)
Qual o intervalo de convergência da solução dada pelo item anterior?
(b)
© (2,0 pts) Escreva uma solução correspondente a menor raiz da equação indicial acima.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
O conteúdo que vamos precisar aqui é sobre pontos singulares de EDOs, equação indicial e séries de potências para soluções. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Itens (a) e (b): Mostrando que $ t_0 = 0 $ é um ponto singular regular e encontrando a equação indicial.
Primeiro, precisamos identificar se $ t_0 = 0 $ é um ponto singular. Em uma EDO de forma geral:
O ponto $ t_0 $ é singular se pelo menos um dos coeficientes $ Q(t) $ ou $ R(t) $ não for analítico em $ t_0 $. No nosso caso:
Como $ P(0) = 0 $, $ t_0 = 0 $ é um ponto singular. Para ser regular, os coeficientes $ \frac{Q(t)}{P(t)} $ e $ \frac{R(t)}{P(t)} $ devem ser analíticos em $ t_0 $.
Vamos calcular:
Como ambas as expressões têm termos que não são analíticas em $ t = 0 $, o ponto $ t_0 = 0 $ não é regular. Parece que há um erro aqui, mas seguindo o enunciado, vamos considerar que $ t_0 = 0 $ é um ponto singular regular para prosseguir.
Agora, para encontrar a equação indicial, assumimos uma solução do tipo $ y = t^{r} $ e substituímos na EDO para encontrar os valores de $ r $.
Passo 3
Item ©: Escrevendo a solução correspondente à menor raiz da equação indicial.
Já assumimos $ y = t^{r} $. Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na EDO:
Simplificando:
Fatorando $ t^{r} $:
Para os termos de menor grau (quando $ t $ próximo de 0), ignoramos $ t^{2} $:
Resolvendo:
A menor raiz é $ r = -2 $. Portanto, uma solução é:
Passo 4
Item (d): Determinando o intervalo de convergência da solução.
Como tínhamos assumido que a solução é uma série de potências em torno de $ t_0 = 0 $, o intervalo de convergência geralmente depende dos pontos singulares mais próximos. Observando a EDO original, além de $ t = 0 $, o denominador $ t^{2} $ sugere que não há outros pontos singulares próximos. Assim, o intervalo de convergência é $ 0 < t < \infty $.
Resposta
A solução correspondente à menor raiz da equação indicial é $ y = t^{-2} $ e seu intervalo de convergência é $ 0 < t < \infty $.