Um tanque industrial para líquidos contém 2000 litros de uma solução contendo 40 kg de determinado soluto. É despejada no tanque, à uma vazão de 1 litro por minuto, uma solução do mesmo soluto com concentração de 100 gramas por litro. A mistura é mantida homogênea e simultaneamente retirada, à vazão de 2 litros por minuto.
Qual é a concentração do soluto quando tivermos 1000 litros de solução no tanque?
Qual é a concentração do soluto quando tivermos 1000 litros de solução no tanque?
Passo 1
Resumindo a questão: temos um tanque com volume inicial de 2000 L e 40 kg de soluto. Entra solução a 1 L/min com concentração de 100 g/L (ou 0,1 kg/L) e sai mistura homogênea a 2 L/min. Queremos a concentração quando o volume chegar a 1000 L. Esse é um problema clássico de equação diferencial de mistura.
Passo 2
Para encontrar quando o volume cai a 1000 L, note que o volume varia em função do tempo t (min) como
Queremos
Passo 3
Agora, seja
a massa de soluto (em kg) no tanque no tempo t. A taxa de variação
é entrada menos saída:
– Entrada: chega 1 L/min com 0,1 kg/L ⇒ 0,1 kg/min.
– Saída: a vazão é 2 L/min com concentração ⇒ taxa de saída é
.
Logo a equação diferencial é
– Entrada: chega 1 L/min com 0,1 kg/L ⇒ 0,1 kg/min.
– Saída: a vazão é 2 L/min com concentração
Logo a equação diferencial é
Passo 4
Reescrevendo em forma padrão de equação linear:
Passo 5
O fator integrante é
Passo 6
Multiplicando a equação por
obtemos
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Passo 8
Isolando
:
Passo 9
Usando a condição inicial
kg:
Passo 10
Portanto
Passo 11
Em
min (quando
L), temos
A concentração é
Resposta
0,06 kg/L (60 g/L)