Um tanque industrial para líquidos contém 2000 litros de uma solução contendo 40 kg de determinado soluto. É despejada no tanque, à uma vazão de 1 litro por minuto, uma solução do mesmo soluto com concentração de 100 gramas por litro. A mistura é mantida homogênea e simultaneamente retirada, à vazão de 2 litros por minuto.
Qual é a concentração do soluto quando tivermos 1000 litros de solução no tanque?

Passo 1

Resumindo a questão: temos um tanque com volume inicial de 2000 L e 40 kg de soluto. Entra solução a 1 L/min com concentração de 100 g/L (ou 0,1 kg/L) e sai mistura homogênea a 2 L/min. Queremos a concentração quando o volume chegar a 1000 L. Esse é um problema clássico de equação diferencial de mistura.

Passo 2

Para encontrar quando o volume cai a 1000 L, note que o volume varia em função do tempo t (min) como
V(t)=2000+(1-2),t=2000-t
Queremos V(t)=1000 2000-t=1000 t=1000 min.

Passo 3

Agora, seja Q(t) a massa de soluto (em kg) no tanque no tempo t. A taxa de variação dQ/dt é entrada menos saída:
– Entrada: chega 1 L/min com 0,1 kg/L ⇒ 0,1 kg/min.
– Saída: a vazão é 2 L/min com concentração Q/V(t) ⇒ taxa de saída é 2,Q/(2000-t).
Logo a equação diferencial é
dQdt=0.1-2,Q2000-t

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão de equação linear:
dQdt+22000-t,Q=0.1

Passo 5

O fator integrante é
mu(t)=expl(integral22000-tdtr)=(2000-t)^-2

Passo 6

Multiplicando a equação por (2000-t)^-2 obtemos
ddtl(Q,(2000-t)^-2r)=0.1,(2000-t)^-2

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Q,(2000-t)^-2=0.1integral(2000-t)^-2dt+C=0.112000-t+C

Passo 8

Isolando Q(t):
Q(t)=0.1(2000-t)+C(2000-t)^2

Passo 9

Usando a condição inicial Q(0)=40 kg:
40=0.1cdot2000+Ccdot2000^2Rightarrow C=-4times10^-5

Passo 10

Portanto
Q(t)=0.1(2000-t)-4times10^-5(2000-t)^2

Passo 11

Em t=1000 min (quando V=1000 L), temos
Q(1000)=0.1cdot1000-4times10^-5cdot1000^2=60 kg
A concentração é Q/V=60,/1000=0.06 kg/L, ou seja, 60 g/L.

Resposta

0,06 kg/L (60 g/L)

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