A tabela fornece coordenadas de uma partícula movendo-se no espaço ao longo de uma curva suave.
t | x | y | z |
---|---|---|---|
0 | 2,7 | 9,8 | 3,7 |
0,5 | 3,5 | 7,2 | 3,3 |
1,0 | 4,5 | 6,0 | 3,0 |
1,5 | 5,9 | 6,4 | 2,8 |
2,0 | 7,3 | 7,8 | 2,7 |
(a) Determine a velocidade média nos intervalos de tempo
,
e
.
(b) Estime a velocidade e a velocidade escalar da partícula no instante .
(b) Estime a velocidade e a velocidade escalar da partícula no instante
Passo 1
O problema dá as coordenadas
de uma partícula em vários instantes e pede (a) as velocidades médias em certos intervalos e (b) uma estimativa da velocidade vetorial e da velocidade escalar (módulo da velocidade) em
. Vamos usar a definição de velocidade média e a aproximação por diferença central para a velocidade instantânea.
Passo 2
A velocidade média de
a
é dada por
que vamos aplicar a cada intervalo.
Passo 3
Em
temos
Logo
Logo
Passo 4
Em
usamos
Logo
Logo
Passo 5
Em
temos
Logo
Logo
Passo 6
Em
usamos
Logo
Logo
Passo 7
Para estimar a velocidade instantânea em
, usamos a diferença central entre
e
:
Passo 8
A velocidade escalar (módulo de
) é
Resposta
(a) Velocidades médias:
• [0,1]: (1.8, −3.8, −0.7)
• [0.5,1]: (2.0, −2.4, −0.6)
• [1,2]: (2.8, 1.8, −0.3)
• [1,1.5]: (2.8, 0.8, −0.4)
• [0,1]: (1.8, −3.8, −0.7)
• [0.5,1]: (2.0, −2.4, −0.6)
• [1,2]: (2.8, 1.8, −0.3)
• [1,1.5]: (2.8, 0.8, −0.4)
(b) Velocidade em t=1: (2.4, −0.8, −0.5), velocidade escalar ≈ 2.58