A tabela fornece coordenadas de uma partícula movendo-se no espaço ao longo de uma curva suave.
t x y z
0 2,7 9,8 3,7
0,5 3,5 7,2 3,3
1,0 4,5 6,0 3,0
1,5 5,9 6,4 2,8
2,0 7,3 7,8 2,7
(a) Determine a velocidade média nos intervalos de tempo [0,1], [0,5 ; 1],[1,2] e [1 ; 1,5].
(b) Estime a velocidade e a velocidade escalar da partícula no instante t=1.

Passo 1

O problema dá as coordenadas r(t)=(x(t),y(t),z(t)) de uma partícula em vários instantes e pede (a) as velocidades médias em certos intervalos e (b) uma estimativa da velocidade vetorial e da velocidade escalar (módulo da velocidade) em t=1. Vamos usar a definição de velocidade média e a aproximação por diferença central para a velocidade instantânea.

Passo 2

A velocidade média de ti a tf é dada por
barv=r(tf)-r(ti)tf-ti
que vamos aplicar a cada intervalo.

Passo 3

Em [0,1] temos
r(1)=(4.5,6.0,3.0), r(0)=(2.7,9.8,3.7)
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barv[0,1]=(4.5,6.0,3.0)-(2.7,9.8,3.7)1-0=(1.8,-3.8,-0.7)

Passo 4

Em [0.5,1] usamos
r(1)=(4.5,6.0,3.0), r(0.5)=(3.5,7.2,3.3)
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barv[0.5,1]=(4.5,6.0,3.0)-(3.5,7.2,3.3)1-0.5=(2.0,-2.4,-0.6)

Passo 5

Em [1,2] temos
r(2)=(7.3,7.8,2.7), r(1)=(4.5,6.0,3.0)
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barv[1,2]=(7.3,7.8,2.7)-(4.5,6.0,3.0)2-1=(2.8,1.8,-0.3)

Passo 6

Em [1,1.5] usamos
r(1.5)=(5.9,6.4,2.8), r(1)=(4.5,6.0,3.0)
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barv[1,1.5]=(5.9,6.4,2.8)-(4.5,6.0,3.0)1.5-1=(2.8,0.8,-0.4)

Passo 7

Para estimar a velocidade instantânea em t=1, usamos a diferença central entre t=0.5 e t=1.5:
r(1.5)=(5.9,6.4,2.8), r(0.5)=(3.5,7.2,3.3)
v(1)approxr(1.5)-r(0.5)1.5-0.5=(2.4,-0.8,-0.5)

Passo 8

A velocidade escalar (módulo de v(1)) é
|v(1)|=raiz2.4^2+(-0.8)^2+(-0.5)^2=raiz6.65approx2.58

Resposta

(a) Velocidades médias:
• [0,1]: (1.8, −3.8, −0.7)
• [0.5,1]: (2.0, −2.4, −0.6)
• [1,2]: (2.8, 1.8, −0.3)
• [1,1.5]: (2.8, 0.8, −0.4)
(b) Velocidade em t=1: (2.4, −0.8, −0.5), velocidade escalar ≈ 2.58

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