Dados quaisquer conjuntos A, B, C e D demonstre que
A=varnothing se e somente se C A=U;

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove que, em qualquer universo U, um conjunto A é vazio se, e somente se, o seu complemento C(A) é todo o universo. Lembrando que, por definição,
C(A)=Usetminus A,
ou seja, o complemento de A em U é o conjunto de todos os elementos de U que não estão em A.

Passo 2

Prova da implicação direta: suponha que
A=varnothing
Então
C(A)=Usetminus A = Usetminus varnothing = U
Aqui usamos que tirar do universo o conjunto vazio não remove nenhum elemento, logo sobra o próprio universo.

Passo 3

Prova da implicação inversa: suponha que
C(A)=U
Então
Usetminus A = U
Se por absurdo Aneqvarnothing, haveria algum xin A. Mas então x não poderia estar em Usetminus A, contradizendo Usetminus A=U. Logo não existe tal x, isto é, A=varnothing.

Resposta

Portanto mostramos que
A=varnothing Long<=ftrightarrow C(A)=U

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