Dados quaisquer conjuntos
e
demonstre que
se e somente se
;
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove que, em qualquer universo
, um conjunto
é vazio se, e somente se, o seu complemento
é todo o universo. Lembrando que, por definição,
ou seja, o complemento de
em
é o conjunto de todos os elementos de
que não estão em
.
Passo 2
Prova da implicação direta: suponha que
Então
Aqui usamos que tirar do universo o conjunto vazio não remove nenhum elemento, logo sobra o próprio universo.
Passo 3
Prova da implicação inversa: suponha que
Então
Se por absurdo
, haveria algum
. Mas então
não poderia estar em
, contradizendo
. Logo não existe tal
, isto é,
.
Resposta
Portanto mostramos que