Um tanque de planta piloto de 0,3 m de diâmetro á agitado mediante uma turbina de 0,1 m de diâmetro quando o número de Reynolds é 104 e o tempo de mistura de dois líquidos miscíveis é de 15 s. Calcule a relação de velocidade entre esse tanque e um tanque de 1,8 m de diâmetro para obter o mesmo tempo de mistura

Passo 1

Vamos analisar o problema que você trouxe. Temos dois tanques de diâmetros diferentes sendo agitados para misturar dois líquidos miscíveis. O primeiro tanque, de planta piloto, tem um diâmetro de 0,3 m e utiliza uma turbina de 0,1 m. Sabemos que o número de Reynolds nesse tanque é 10^4 e o tempo de mistura é de 15 segundos. A pergunta é: qual deve ser a relação de velocidade entre esse tanque e um tanque maior, de 1,8 m de diâmetro, para que o tempo de mistura seja o mesmo? Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente relacionados ao tempo de mistura, número de Reynolds e escala geométrica dos tanques.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o número de Reynolds representa. O número de Reynolds ( Re) é uma medida que relaciona forças inerciais e viscosas em um fluido, definido pela fórmula:
Re = v Dnu
onde:
  • v é a velocidade do fluido,
  • D é o diâmetro característico (neste caso, o diâmetro da turbina),
  • nu é a viscosidade cinemática do fluido.
No nosso caso, o Re é constante ( 10^4), o que significa que a relação entre velocidade e diâmetro deve se manter para ambos os tanques.

Passo 3

Agora, vamos relacionar o tempo de mistura ( tm) com as dimensões dos tanques e a velocidade. O tempo de mistura é inversamente proporcional à velocidade do fluido. Ou seja:
tm propto Lv
onde L é uma dimensão característica do tanque (vamos considerar o diâmetro).
Para manter o mesmo tempo de mistura em ambos os tanques, podemos estabelecer a seguinte relação:
L1v1 = L2v2
Rearranjando para encontrar a relação entre as velocidades:
v2v1 = L2L1

Passo 4

Aplicando os valores fornecidos:
  • Diâmetro do primeiro tanque ( L1): 0,3 m
  • Diâmetro do segundo tanque ( L2): 1,8 m
Substituindo na fórmula:
v2v1 = 1,80,3 = 6
Isso significa que a velocidade no segundo tanque precisa ser 6 vezes maior que no primeiro para manter o mesmo tempo de mistura.

Resposta

A velocidade no tanque de 1,8 m de diâmetro deve ser 6 vezes maior que no tanque de 0,3 m para obter o mesmo tempo de mistura.

Exercícios relacionados