Um tanque, com 6 m de profundidade e 2,1 m de largura, armazena camadas com 2,4 m de óleo, 1,8 m de água e 1,2 m de mercúrio. Calcule:
(a)A força hidrostática total na parede lateral direita do tanque;
(b) O centro de pressão resultante sobre a lateral direita do tanque.
Dados: Massa específica da água =1000 kg / m^3; massa específica do óleo =881,45 kg / m^3; massa específica do mercúrio =13.558 kg / m^3.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque cuja altura interna total é de 6, m e largura (no sentido da parede lateral) é de 2,1, m. Nele há três camadas de fluido, da superfície para o fundo:
  • óleo de altura 2,4, m e massa específica rhorm ó<=o=881,45 kg/m^3ó;
  • água de altura 1,8, m e massa específica rhorm água=1000 kg/m^3á;
  • mercúrio de altura 1,2, m e massa específica rhorm Hg=13,558 kg/m^3.
Pede-se
(a) a força hidrostática total na parede lateral direita, e
(b) a profundidade do centro de pressão resultante medido a partir da superfície do óleo.
O conteúdo é integração de pressão hidrostática sobre uma superfície plana dividida em camadas de fluido.

Passo 2

Para uma parede vertical de largura b e fluido cuja superfície livre está em y=0 e aumenta a profundidade para baixo, a força hidrostática é
F = integralA p(y),dA com p(y)=rho,g,y
e dA = b,dy. Como há três fluidos, somamos as integrais em cada intervalo:
Frm total =sumi=rm ó<=o,água,Hg rhoi,g,bintegralyi,1^,yi,2y,dy =sumi rhoi,g,b;yi,2^2 - yi,1^22 óá
Aqui b=2,1 m, g=9,81 m/s^2, e os limites:
óleo: 0<= y<=2,4,
água: 2,4<= y<=4,2,
Hg: 4,2<= y<=5,4.

Passo 3

Calculando cada parcela (em N):
1. Óleo, rho g b=881,45cdot9,81cdot2,1approx1,8158times10^4:
Frm ó<=o approx1,8158times10^4cdot2,4^2-0^22 =1,8158times10^4cdot2,88 approx5,23times10^4 ó
2. Água, rho g b=1000cdot9,81cdot2,1=2,0601times10^4:
Frm água =2,0601times10^4cdot4,2^2-2,4^22 =2,0601times10^4cdot5,94 approx1,22times10^5 á
3. Mercúrio, rho g b=13.558cdot9,81cdot2,1approx2,7932times10^5:
Frm Hg =2,7932times10^5cdot5,4^2-4,2^22 =2,7932times10^5cdot5,76 approx1,61times10^6
Somando,
Frm total approx5,23times10^4 +1,22times10^5 +1,61times10^6 approx1,78times10^6 N

Passo 4

O centro de pressão yR (medido a partir de y=0) satisfaz
yR =1Frm totalintegralA y,p(y),dA =1Frm total sumi rhoi,g,bintegralyi,1^yi,2y^2,dy =1Frm total sumi rhoi,g,b;yi,2^3-yi,1^33

Passo 5

Calculando os momentos (em Ncdot m):
1. Óleo:
Mrm ó<=o =1,8158times10^4cdot2,4^3-03 =1,8158times10^4cdot4,608 approx8,37times10^4 ó
2. Água:
Mrm água =2,0601times10^4cdot4,2^3-2,4^33 =2,0601times10^4cdot20,088 approx4,14times10^5 á
3. Mercúrio:
Mrm Hg =2,7932times10^5cdot5,4^3-4,2^33 =2,7932times10^5cdot27,792 approx7,76times10^6
Somando,
Mrm total approx8,37times10^4 +4,14times10^5 +7,76times10^6 approx8,26times10^6 Ncdot m
Logo
yR =8,26times10^61,78times10^6 approx4,63 m

Resposta

(a) Frm totalapprox1,78times10^6 N.
(b) O centro de pressão está a aproximadamente 4,63, m abaixo da superfície do óleo.

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