Um tanque retangular deve ter
de capacidade. O custo do material das faces laterais é de
20,00
\mathrm{R} $30,00
$ 40,00
\widetilde{\mathbf{T}}$
Passo 1
O enunciado pede as dimensões de um tanque retangular com capacidade de
que minimizam o custo de construção. As faces laterais custam
por metro quadrado, o fundo custa
por metro quadrado e a tampa tem custo fixo de
. O conteúdo da matéria é otimização de função de várias variáveis com restrição de volume; vamos usar a condição de volume e eliminar uma variável para reduzir a otimização a duas variáveis.
Passo 2
Sejam
,
e
as dimensões do tanque em metros (comprimento, largura e altura). A restrição de volume é
O custo total
em função de
é a soma do custo lateral, do fundo e da tampa:
Aqui
é o custo das quatro faces laterais,
é o custo do fundo e
é o custo fixo da tampa.
Passo 3
Usamos a restrição
para eliminar
. Substituindo em
e ignorando o termo constante
(não afeta o ponto de mínimo), obtemos
Podemos escrever
Passo 4
Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 5
Do sistema
substituímos
em
:
Então
E a altura
fica
Passo 6
Para verificar que este ponto é mínimo, podemos notar que
quando
ou
ou
, e que a Hessiana de
em
é definida positiva (padrão em problemas de caixa com superfície convexa). Logo, o ponto crítico é mínimo.
Resposta
As dimensões ótimas são