(ENADE-2005) Considere em R^{3} uma bola de centro na origem e raio 4. Em cada ponto), ( z y x dessa bola, a temperatura T é uma função do ponto, expressa por T ( x , \mathrm{y}, \mathrm{z})=\frac{50}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}. Nessa situação, partindo-se de um ponto ( x_{0}, y_{0}, z_{0} ) da fronteira da bola e caminhando–se em linha reta na direção do ponto ( -x_{0},-y_{0},-z_{0} ) observa-se que a temperatura: II
a) Será máxima nos pontos da fronteira da bola. II
b) Estará sempre aumentando durante todo o percurso. I
c) Estará sempre diminuindo durante todo o percurso. II
d) Atingirá o seu maior valor no centro da bola.
e) Assumirá o seu maior valor em 4 pontos distintos. \mathbb{T}

Passo 1

O enunciado fornece a bola de centro na origem e raio 4 em \mathbb{R}^3 e a temperatura
T(x,y,z)=\frac{50}{x^2+y^2+z^2+1}.
Partimos de \,(x_0,y_0,z_0) com x_0^2+y_0^2+z_0^2=4^2 e vamos em linha reta até (-x_0,-y_0,-z_0). O objetivo é estudar o comportamento de T ao longo desse segmento.

Passo 2

Parametrizamos o caminho por
\mathbf{r}(t) = (1-2t)\,(x_0,y_0,z_0), \quad t\in[0,1].
Para t=0 estamos em (x_0,y_0,z_0) e para t=1 em (-x_0,-y_0,-z_0). O módulo do vetor é
\|\mathbf{r}(t)\| = |1-2t|\;\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2} =4\,|1-2t|.

Passo 3

Substituindo no perfil radial, obtemos
T(t) \;=\; \frac{50}{\|\mathbf{r}(t)\|^2+1} \;=\;\frac{50}{16\,(1-2t)^2+1}.

Passo 4

O denominador 16(1-2t)^2+1 é mínimo quando (1-2t)^2 é mínimo, isto é, em t=\tfrac12. Logo T(t) atinge o valor máximo em t=\tfrac12, que corresponde ao centro da bola \mathbf{r}(\tfrac12)=\mathbf{0}. Para t de 0 até \tfrac12, |1-2t| diminui e T(t) aumenta; de \tfrac12 até 1, T(t) diminui de novo.

Passo 5

Concluímos que a temperatura atinge seu maior valor exatamente no centro da bola e não em outros pontos.

Resposta

d) Atingirá o seu maior valor no centro da bola.

Exercícios relacionados