Resolva
;
Passo 1
O enunciado pede resolver a EDO
Trata-se de uma equação linear homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Supondo uma solução da forma
, substituímos na EDO e obtemos o polinômio característico:
Dividindo por
, fica
Passo 3
Fazemos a troca
, o que nos leva à equação quadrática
O discriminante é
, logo há uma raiz dupla
Passo 4
Voltando a
, temos
cada uma com multiplicidade 2, pois
era raiz dupla. Assim, o fator
gera essas raízes duplas complexas.
Passo 5
Para raízes complexas conjugadas duplas
com
, a solução geral na forma complexa é
Convertendo para a forma real usando
, obtemos quatro soluções independentes em
,
,
e
.
Resposta
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.