Resolva
4 \frac{d^{4} y}{d x^{4}}+12 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+9 y=0;

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO
4 \frac{d^4 y}{dx^4} + 12 \frac{d^2 y}{dx^2} + 9\,y = 0.
Trata-se de uma equação linear homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Supondo uma solução da forma y=e^{rx}, substituímos na EDO e obtemos o polinômio característico:
4r^4 + 12r^2 + 9 = 0.
Dividindo por 4, fica
r^4 + 3r^2 + \tfrac{9}{4} = 0.

Passo 3

Fazemos a troca m=r^2, o que nos leva à equação quadrática
4m^2 + 12m + 9 = 0.
O discriminante é \Delta = 12^2 - 4\cdot4\cdot9 = 144 - 144 = 0, logo há uma raiz dupla
m = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}.

Passo 4

Voltando a r, temos
r^2 = -\frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad r = \pm\,i\sqrt{\frac{3}{2}},
cada uma com multiplicidade 2, pois m era raiz dupla. Assim, o fator \bigl(r^2 + \tfrac32\bigr)^2=0 gera essas raízes duplas complexas.

Passo 5

Para raízes complexas conjugadas duplas \pm i\omega com \omega=\sqrt{\tfrac{3}{2}}, a solução geral na forma complexa é
y = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{i\omega x} + \bigl(C_3 + C_4 x\bigr)e^{-i\omega x}.
Convertendo para a forma real usando e^{i\omega x}=\cos(\omega x)+i\sin(\omega x), obtemos quatro soluções independentes em \cos(\omega x), \sin(\omega x), x\cos(\omega x) e x\sin(\omega x).

Resposta

y(x) = \bigl(A + Bx\bigr)\cos\!\bigl(\sqrt{\tfrac{3}{2}}\,x\bigr) + \bigl(C + Dx\bigr)\sin\!\bigl(\sqrt{\tfrac{3}{2}}\,x\bigr),
onde A,B,C,D são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados