Se um tanque tem 5000 litros, e a água ecoa pelo fundo em 40 minutos, então a Lei de Torricelli dá o volume
de água que restou no tanque depois de
minutos como
Encontre a taxa segundo a qual a água está escoando do tanque depois de (a) 5 min, (b) 10 min, © 20 min e (d) 40 min. Em que instante o escoamento é mais rápido? E mais vagaroso? Resuma o que você encontrou.
Passo 1
Temos um tanque com volume de água dado por
onde
está em minutos e
em litros. Queremos a taxa de escoamento, ou seja, a derivada
, nos instantes
e, em seguida, identificar quando esse escoamento é mais rápido e mais vagaroso. Vamos usar regra da cadeia para isso.
Passo 2
Para encontrar a taxa de escoamento calculamos a derivada de
. Aplicando regra da cadeia em
obtemos
Como
seguimos para
Passo 3
Agora avaliamos
nos instantes pedidos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Para saber onde o escoamento é mais rápido (maior módulo de
) e mais vagaroso, observamos que
varia linearmente de
a 0 no intervalo
. Logo o escoamento é mais rápido no início (
, com 250 L/min de saída) e mais vagaroso no final (
, com 0 L/min). Entre os instantes calculados, o maior fluxo de água ocorre em
minutos.
Passo 5
Em resumo, a taxa de escoamento diminui de forma linear de 250 L/min no início até 0 L/min aos 40 min, passando por: 218,75 L/min aos 5 min, 187,5 L/min aos 10 min e 125 L/min aos 20 min.
Resposta
(a) –218,75 L/min; (b) –187,5 L/min; © –125 L/min; (d) 0 L/min. O escoamento é mais rápido no início (t=0) e mais vagaroso no final (t=40), variando linearmente entre esses extremos ao longo do tempo.