Se um tanque tem 5000 litros, e a água ecoa pelo fundo em 40 minutos, então a Lei de Torricelli dá o volume V de água que restou no tanque depois de t minutos como
V=5000(1-140 t)^2, 0 <= t <= 40
Encontre a taxa segundo a qual a água está escoando do tanque depois de (a) 5 min, (b) 10 min, © 20 min e (d) 40 min. Em que instante o escoamento é mais rápido? E mais vagaroso? Resuma o que você encontrou.

Passo 1

Temos um tanque com volume de água dado por
V(t)=5000l(1-t40r)^2,
onde t está em minutos e V em litros. Queremos a taxa de escoamento, ou seja, a derivada dV/dt, nos instantes t=5,10,20,40 e, em seguida, identificar quando esse escoamento é mais rápido e mais vagaroso. Vamos usar regra da cadeia para isso.

Passo 2

Para encontrar a taxa de escoamento calculamos a derivada de V(t). Aplicando regra da cadeia em
V(t)=5000l(1-tfract40r)^2,
obtemos
dVdt=5000cdot2l(1-tfract40r)cdotddtl(1-tfract40r)
Como
ddtl(1-tfract40r)=-tfrac140,
seguimos para
dVdt=-250l(1-tfract40r)

Passo 3

Agora avaliamos dV/dt nos instantes pedidos:
  • Para t=5:
dVdt=-250l(1-tfrac540r)=-250cdottfrac3540=-218,75 L/min
  • Para t=10:
dVdt=-250l(1-tfrac1040r)=-250cdottfrac3040=-187,5 L/min
  • Para t=20:
dVdt=-250l(1-tfrac2040r)=-250cdottfrac12=-125 L/min
  • Para t=40:
dVdt=-250l(1-1r)=0 L/min

Passo 4

Para saber onde o escoamento é mais rápido (maior módulo de dV/dt) e mais vagaroso, observamos que dV/dt varia linearmente de -250 a 0 no intervalo [0,40]. Logo o escoamento é mais rápido no início ( t=0, com 250 L/min de saída) e mais vagaroso no final ( t=40, com 0 L/min). Entre os instantes calculados, o maior fluxo de água ocorre em t=5 minutos.

Passo 5

Em resumo, a taxa de escoamento diminui de forma linear de 250 L/min no início até 0 L/min aos 40 min, passando por: 218,75 L/min aos 5 min, 187,5 L/min aos 10 min e 125 L/min aos 20 min.

Resposta

(a) –218,75 L/min; (b) –187,5 L/min; © –125 L/min; (d) 0 L/min. O escoamento é mais rápido no início (t=0) e mais vagaroso no final (t=40), variando linearmente entre esses extremos ao longo do tempo.

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