Um carro cisterna aberto está cheio de água, sofre uma aceleração de a=3 \mathrm{~m} / \\mathrm{s}^{2} no trecho 1. Após desce uma rampa (Trecho 2) mantendo a mesma aceleração. Determine qual é o ângulo de declividade do nível da água referente ao plano horizontal.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ângulo de declividade do nível da água (isto é, o ângulo que a superfície livre da água faz com o plano horizontal) quando o carro cisterna acelera com a=3\\ \mathrm{m/s^{2}}. Informações relevantes dadas:
  • A aceleração vale \,a=3\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
  • A água está em equilíbrio no referencial não inercial do veículo (superfície livre assume uma inclinação constante).
  • Tomaremos a aceleração da gravidade como \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\, (valor padrão).

Passo 2

Conceito físico essencial (explicado devagar e sem pular etapas): quando o recipiente acelera, é conveniente trabalhar no referencial do veículo (não inercial). Nesse referencial aparece uma aceleração fictícia (força de inércia) com intensidade igual a a e direção oposta à aceleração do carro. Assim, a água “sente” uma aceleração resultante (gravidade efetiva) que é a soma vetorial da gravidade real e da aceleração fictícia.
Definindo eixos: escolha o eixo horizontal x no sentido do movimento do carro (para frente) e o eixo vertical z apontando para cima. A gravidade real tem vetor \,-g\,\hat{z} (para baixo). A aceleração fictícia, no referencial do carro, é -\vec{a}; se o carro acelera para a frente, a aceleração fictícia aponta para trás (sentido negativo de x) com módulo a. Portanto a gravidade efetiva é
\vec{g}_{\text{eff}} = -g\,\hat{z} - a\,\hat{x}.

Passo 3

Por que a superfície livre se inclina? Em equilíbrio hidrostático no referencial do carro, o gradiente de pressão satisfaz
\nabla p = \rho\,\vec{g}_{\text{eff}},
onde \rho é a densidade do fluido. A superfície livre é uma superfície de pressão constante (pressão atmosférica), logo as superfícies de mesmo p são perpendiculares a \vec{g}_{\text{eff}}. Conclusão prática: a superfície livre fica perpendicular ao vetor \vec{g}_{\text{eff}}.
Geometricamente, isso implica que o ângulo \theta entre a superfície livre e a horizontal satisfaz
\tan\theta = \frac{\text{componente horizontal de } \vec{g}_{\text{eff}}}{\text{componente vertical de } \vec{g}_{\text{eff}}} = \frac{a}{g}.
Aqui explico passo a passo: a componente horizontal (magnitude) é a e a componente vertical (magnitude) é g; o ângulo que o vetor \vec{g}_{\text{eff}} faz com a vertical tem tangente a/g, e a superfície livre é perpendicular à direção de \vec{g}_{\text{eff}}, portanto o ângulo da superfície com a horizontal é exatamente \theta tal que \tan\theta=a/g.

Passo 4

Aplicando os números: com \,a=3\\ \mathrm{m/s^{2}}\, e \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\,,
\tan\theta = \frac{a}{g} = \frac{3}{9,8} \approx 0,30612.
Agora calculamos o ângulo usando a função arco-tangente:
\theta = \arctan\!\left(\frac{3}{9,8}\right) \approx \arctan(0,30612) \approx 16,99^\circ.
Arredondando de forma prática para a prova, \theta \approx 17^\circ.
Também vale explicar a interpretação: se o carro acelera para frente, a superfície da água fica mais alta na traseira e baixa na frente — ou seja, a água “se inclina” para trás, com declividade de aproximadamente 17^\circ em relação à horizontal.

Resposta

\theta \approx 17^\circ

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