Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com
de altura e
de raio da base. Se a água entra no tanque à razão de
, calcule a razão na qual o nível da água está subindo quando a profundidade é de
.
22. Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de
. Determine a taxa à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro está em 30 cm .
22. Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de
Passo 1
O primeiro exercício trata de um tanque em forma de cone invertido com altura de 4 m e raio da base de 2 m. A água entra à razão dV/dt = 0,001 m³/min e queremos descobrir dh/dt quando h = 1 m. Vamos usar semelhança de triângulos para relacionar raio e altura e depois derivadas implícitas para taxas relacionadas.
Passo 2
Pela semelhança de triângulos entre o cone todo (R=2, H=4) e o cone de água (r, h) temos r/h = 2/4 ⇒ r = h/2.
O volume da água em função de h é V = (1/3)π r² h. Substituindo r = h/2:
O volume da água em função de h é V = (1/3)π r² h. Substituindo r = h/2:
Passo 3
Derivando ambos os lados em relação ao tempo t:
Passo 4
Isolando dh/dt e substituindo dV/dt = 0,001 m³/min e h = 1 m:
Passo 5
No segundo exercício temos uma chapa circular cujo diâmetro cresce à razão dd/dt = 0,01 cm/min. Queremos dA/dt quando d = 30 cm. Vamos relacionar área e diâmetro e derivar.
Passo 6
A área A em função do diâmetro d é
Passo 7
Derivando em relação ao tempo t:
Passo 8
Substituindo d = 30 cm e dd/dt = 0,01 cm/min: