Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e 2 m de raio da base. Se a água entra no tanque à razão de 0,001 m^3 / min, calcule a razão na qual o nível da água está subindo quando a profundidade é de 1 m.
22. Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm / min. Determine a taxa à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro está em 30 cm .

Passo 1

O primeiro exercício trata de um tanque em forma de cone invertido com altura de 4 m e raio da base de 2 m. A água entra à razão dV/dt = 0,001 m³/min e queremos descobrir dh/dt quando h = 1 m. Vamos usar semelhança de triângulos para relacionar raio e altura e depois derivadas implícitas para taxas relacionadas.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos entre o cone todo (R=2, H=4) e o cone de água (r, h) temos r/h = 2/4 ⇒ r = h/2.
O volume da água em função de h é V = (1/3)π r² h. Substituindo r = h/2:
V = 13pi l(h2r)^2h = 112pi h^3

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t:
dVdt = 112pi cdot 3h^2dhdt = 14pi h^2dhdt

Passo 4

Isolando dh/dt e substituindo dV/dt = 0,001 m³/min e h = 1 m:
dhdt = 0,001tfrac14picdot1^2 = 0,004pi m/min

Passo 5

No segundo exercício temos uma chapa circular cujo diâmetro cresce à razão dd/dt = 0,01 cm/min. Queremos dA/dt quando d = 30 cm. Vamos relacionar área e diâmetro e derivar.

Passo 6

A área A em função do diâmetro d é
A = pil(d2r)^2 = pi4d^2

Passo 7

Derivando em relação ao tempo t:
dAdt = pi4 cdot 2d dddt = pi2ddddt

Passo 8

Substituindo d = 30 cm e dd/dt = 0,01 cm/min:
dAdt = pi2cdot30cdot0,01 = 0,15pi cm^2/min

Resposta

dhdt=0,004pi m/min e dAdt=0,15pi cm^{2}/min.

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