1. Um tanque tem formato de uma semiesfera com raio de 5 metros, com a abertura voltada para cima. Água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 10 \pi \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}.
    O volume de uma calota esférica de altura h numa esfera de raio R é dado por:
V=\frac{\pi h^{2}}{3}(3 R-h)
Determine a taxa de variação da altura da água quando a altura da água no tanque é de 2 metros.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a taxa de variação da altura da água no tanque (isto é, \dfrac{dh}{dt}) quando a altura é h=2 metros, sabendo que a água entra no tanque à taxa \dfrac{dV}{dt}=10\pi\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O tanque tem a forma de uma semiesfera de raio R=5\\ \mathrm{m}.
  • A altura da coluna de água no instante considerado é h=2\\ \mathrm{m}.
  • A taxa de variação do volume é \dfrac{dV}{dt}=10\pi\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min} (água entrando).
  • A fórmula para o volume de uma calota esférica de altura h numa esfera de raio R é:
V=\frac{\pi h^{2}}{3}(3R-h).
Observação: aqui a calota que descreve o volume de água é exatamente a calota de altura h (a partir do ponto mais baixo do interior da semiesfera até a superfície da água), portanto podemos usar a fórmula com R=5.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula do volume específica para R=5. Substituindo R=5 em
V=\frac{\pi h^{2}}{3}(3R-h)
obtemos
V=\frac{\pi h^{2}}{3}(3\cdot5-h)=\frac{\pi h^{2}}{3}(15-h).
É útil também reescrever abrindo parênteses para facilitar a diferenciação:
V=\frac{\pi}{3}\big(15h^{2}-h^{3}\big).
Outra forma, fatorando \pi, é
V=\pi\!\left(5h^{2}-\frac{h^{3}}{3}\right).
Todas essas expressões são equivalentes; usaremos a forma que facilita a derivação.

Passo 3

Agora vamos relacionar as taxas usando derivação em relação ao tempo t. Explicando a ideia: V é função de h, e h depende do tempo t. Então a taxa \dfrac{dV}{dt} é obtida pela regra da cadeia como
\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}.
Aqui \dfrac{dV}{dh} é a derivada da expressão de V em relação a h (tratando h como variável), e \dfrac{dh}{dt} é o que queremos encontrar.
Vou calcular \dfrac{dV}{dh} a partir de
V=\pi\!\left(5h^{2}-\frac{h^{3}}{3}\right).
Derivando termo a termo (regra: \dfrac{d}{dh}(h^n)=n h^{n-1}):
  • \dfrac{d}{dh}(5h^{2})=10h.
  • \dfrac{d}{dh}\!\left(\frac{h^{3}}{3}\right)=\frac{3h^{2}}{3}=h^{2}.
Portanto
\frac{dV}{dh}=\pi\big(10h - h^{2}\big).
Usando a regra da cadeia:
\frac{dV}{dt}=\pi\big(10h - h^{2}\big)\cdot\frac{dh}{dt}.

Passo 4

Substituímos agora o valor h=2\\ \mathrm{m} na expressão para \dfrac{dV}{dt}. Calculando o coeficiente em h=2:
10h - h^{2}=10\cdot 2 - 2^{2}=20-4=16.
Logo, no instante em que h=2,
\frac{dV}{dt}=\pi\cdot 16\cdot\frac{dh}{dt}=16\pi\cdot\frac{dh}{dt}.

Passo 5

Agora usamos a informação numérica da taxa volumétrica: \dfrac{dV}{dt}=10\pi\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}. Igualando:
10\pi = 16\pi\cdot\frac{dh}{dt}.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por \pi:
10 = 16\cdot\frac{dh}{dt}.
Isolando \dfrac{dh}{dt}:
\frac{dh}{dt}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}\\ \mathrm{m/min}.

Passo 6

Interpretação e unidades: \dfrac{dh}{dt}=\dfrac{5}{8}\\ \mathrm{m/min} significa que, no instante em que a água tem 2\\ \mathrm{m} de altura, a superfície da água está subindo a uma razão de \dfrac{5}{8} metros por minuto (aproximadamente 0,625\\ \mathrm{m/min}). Bom trabalho — a conta principal foi usar a fórmula do volume da calota, diferenciar corretamente e resolver a equação linear resultante para \dfrac{dh}{dt}. Mantém a calma que você está indo bem!

Resposta

\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{5}{8}\\ \mathrm{m/min}

Exercícios relacionados