- Um tanque tem formato de uma semiesfera com raio de 5 metros, com a abertura voltada para cima. Água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
.
O volume de uma calota esférica de altura
numa esfera de raio
é dado por:
Determine a taxa de variação da altura da água quando a altura da água no tanque é de 2 metros.
O volume de uma calota esférica de altura
Passo 1
O enunciado pede: determinar a taxa de variação da altura da água no tanque (isto é,
) quando a altura é
metros, sabendo que a água entra no tanque à taxa
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O tanque tem a forma de uma semiesfera de raio
. - A altura da coluna de água no instante considerado é
. - A taxa de variação do volume é
(água entrando). - A fórmula para o volume de uma calota esférica de altura
numa esfera de raio é:
Observação: aqui a calota que descreve o volume de água é exatamente a calota de altura
(a partir do ponto mais baixo do interior da semiesfera até a superfície da água), portanto podemos usar a fórmula com
.
Passo 2
Vamos escrever a fórmula do volume específica para
. Substituindo
em
obtemos
É útil também reescrever abrindo parênteses para facilitar a diferenciação:
Outra forma, fatorando
, é
Todas essas expressões são equivalentes; usaremos a forma que facilita a derivação.
Passo 3
Agora vamos relacionar as taxas usando derivação em relação ao tempo
. Explicando a ideia:
é função de
, e
depende do tempo
. Então a taxa
é obtida pela regra da cadeia como
Aqui
é a derivada da expressão de
em relação a
(tratando
como variável), e
é o que queremos encontrar.
Vou calcular
a partir de
Derivando termo a termo (regra:
):
-
. -
.
Portanto
Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Substituímos agora o valor
na expressão para
. Calculando o coeficiente em
:
Logo, no instante em que
,
Passo 5
Agora usamos a informação numérica da taxa volumétrica:
. Igualando:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Passo 6
Interpretação e unidades:
significa que, no instante em que a água tem
de altura, a superfície da água está subindo a uma razão de
metros por minuto (aproximadamente
). Bom trabalho — a conta principal foi usar a fórmula do volume da calota, diferenciar corretamente e resolver a equação linear resultante para
. Mantém a calma que você está indo bem!