Um tanque de volume 0,05 m^3 contendo ar a pressão de 700 kPa (absoluta) e uma temperatura de 15^circ C. No instante inicial, o ar começa a escapar por uma válvula. O ar sai com velocidade de 200 m / s e massa específica de 6 kg / m^3 através de uma área 70 mm^2. Determine a taxa de variação de massa específica do ar no tanque no instante inicial.

Passo 1

Beleza, vamos quebrar o enunciado: temos um tanque de volume fixo V=0,05 m³ com ar a 700 kPa e 15 °C. Abre-se uma válvula e o ar sai com velocidade v=200 m/s, densidade à saída ρₑ=6 kg/m³ e área de saída A=70 mm². A matéria aqui é conservação de massa (equação da continuidade) num volume de controle. Pra resolver, vamos usar:
  1. Equação de continuidade: d m_controle/dt = Σṁ_entrando – Σṁ_saindo
  2. Relação massa–densidade: m = ρ·V (V constante)

Passo 2

Pela conservação de massa num volume fixo:
d mrm tanquedt=-dot mrm saída í
não há entrada, só saída.

Passo 3

Como d mrm tanquedt =V,drhorm tanquedt ;;Rightarrow;; V,drhorm tanquedt =-dot mrm saída com V constante, derivando em relação a t:
í

Passo 4

O fluxo de massa de saída é
dot mrm saída =rhoe,v,A í
Convertendo A=70 mm²=70×10⁻⁶ m², temos
dot mrm saída =6;rm kgm^3times200;mstimes70times10^-6;m^2 =0,084;rm kg/s í

Passo 5

Substituindo em
V,drhorm tanquedt =-0,084 Rightarrow drhorm tanquedt =-0,0840,05 =-1,68;rm kgm^3,s

Resposta

A taxa de variação da massa específica no instante inicial é
boxeddrhodt=-1,68;rm kgm^3cdot s

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