Um tanque de ar com volume
está pressurizado a 1 MPa (pressão absoluta) a uma temperatura de
. Ar começa a vazar do tanque através de uma válvula aberta por uma área de
. Se a taxa de variação da densidade do ar no tanque no instante em que a válvula é aberta é
e a velocidade (uniforme) do escoamento na válvula é
, determine qual é a densidade do ar passando pela válvula.
Dica: assuma que a densidade é uniforme no interior do tanque.
Dica: assuma que a densidade é uniforme no interior do tanque.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (assumi os valores tal como fornecidos).
- Dados do problema:
- Volume do tanque:
. - Pressão inicial:
(dado, não será necessário no cálculo). - Temperatura inicial:
(dado, não será necessário no cálculo). - Área da válvula:
. (Nota: esta unidade precisa ser convertida para antes de usar.) - Velocidade do escoamento na válvula (uniforme):
. - Taxa de variação temporal da densidade dentro do tanque (no instante considerado):
. - Pressuposto indicado: a densidade é uniforme no interior do tanque.
- Volume do tanque:
- O que o enunciado pede:
- Determinar a densidade do ar passando pela válvula (vou chamar essa densidade de
) no instante em que a válvula é aberta.
- Determinar a densidade do ar passando pela válvula (vou chamar essa densidade de
Passo 2
Princípio físico e fórmulas que vou usar (explicação didática).
- Conservação de massa no tanque: a massa total dentro do tanque é
onde é a densidade uniforme dentro do tanque e é o volume. A variação temporal da massa é Unidade: , ok. - Taxa de massa que sai pela válvula (fluxo mássico): se a densidade do escoamento na seção é
e a velocidade é com área , a massa que sai por segundo é Unidade: . - Sinal: como a massa no tanque está diminuindo, a variação
é negativa e deve igualar a massa que sai com sinal negativo: Substituindo as expressões acima obtemos a equação balanceadora: Esta é a relação que vamos resolver para .
Passo 3
Isolar
e fazer as conversões numéricas passo a passo.
- Isolando
na equação: - Converter a área de
para : - Substituir os valores dados:
Fazer as operações no denominador primeiro: No numerador: Portanto Se quiser fazer sem calculadora: multiplicar numerador e denominador por dá .
Passo 4
Verificação de unidades e comentário físico rápido.
- Checagem de unidades: o resultado tem unidade
(ok). - Comentário físico (para te deixar confiante): a densidade dentro do tanque inicialmente (a partir de
e ) seria maior (~ ), então faz sentido que a densidade no escoamento na seção seja menor que a do tanque em expansão/escoamento para a velocidade dada. O cálculo pedido usa apenas conservação de massa local no instante considerado, e é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova: escrever , derivar, relacionar com na saída, converter unidades e calcular.