Um tanque de ar com volume V=1 \mathrm{~m}^{3} está pressurizado a 1 MPa (pressão absoluta) a uma temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Ar começa a vazar do tanque através de uma válvula aberta por uma área de 100 \mathrm{~mm}^{2}. Se a taxa de variação da densidade do ar no tanque no instante em que a válvula é aberta é
\frac{\partial \rho}{\partial t}=-0,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}
e a velocidade (uniforme) do escoamento na válvula é 300 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, determine qual é a densidade do ar passando pela válvula.
Dica: assuma que a densidade é uniforme no interior do tanque.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (assumi os valores tal como fornecidos).
  • Dados do problema:
    • Volume do tanque: V=1\\ \mathrm{m}^{3}.
    • Pressão inicial: 1\\ \mathrm{MPa} (dado, não será necessário no cálculo).
    • Temperatura inicial: 20^\circ\mathrm{C} (dado, não será necessário no cálculo).
    • Área da válvula: A=100\\ \mathrm{mm}^{2}. (Nota: esta unidade precisa ser convertida para \mathrm{m}^{2} antes de usar.)
    • Velocidade do escoamento na válvula (uniforme): v=300\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
    • Taxa de variação temporal da densidade dentro do tanque (no instante considerado): \dfrac{\partial \rho}{\partial t}=-0,1\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}.
    • Pressuposto indicado: a densidade é uniforme no interior do tanque.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a densidade do ar passando pela válvula (vou chamar essa densidade de \rho_{\text{saída}}í) no instante em que a válvula é aberta.

Passo 2

Princípio físico e fórmulas que vou usar (explicação didática).
  • Conservação de massa no tanque: a massa total dentro do tanque é m = \rho\,V,onde \rho é a densidade uniforme dentro do tanque e V é o volume. A variação temporal da massa é \frac{dm}{dt} = V\frac{\partial \rho}{\partial t}.Unidade: \mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1} = \mathrm{m}^{3}\cdot(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}), ok.
  • Taxa de massa que sai pela válvula (fluxo mássico): se a densidade do escoamento na seção é \rho_{\text{saída}}í e a velocidade é v com área A, a massa que sai por segundo é \dot{m}_{\text{out}} = \rho_{\text{saída}}\,v\,A.íUnidade: \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\cdot\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{m}^{2}=\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Sinal: como a massa no tanque está diminuindo, a variação \dfrac{dm}{dt} é negativa e deve igualar a massa que sai com sinal negativo: \frac{dm}{dt} = -\dot{m}_{\text{out}}.Substituindo as expressões acima obtemos a equação balanceadora: V\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\rho_{\text{saída}}\,v\,A.íEsta é a relação que vamos resolver para \rho_{\text{saída}}í.

Passo 3

Isolar \rho_{\text{saída}}í e fazer as conversões numéricas passo a passo.
  • Isolando \rho_{\text{saída}}í na equação: \rho_{\text{saída}} = -\frac{V\,\dfrac{\partial \rho}{\partial t}}{v\,A}.í
  • Converter a área de \mathrm{mm}^{2} para \mathrm{m}^{2}: A = 100\\ \mathrm{mm}^{2} = 100\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2} = 1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Substituir os valores dados: \rho_{\text{saída}} = -\frac{1\cdot(-0,1)}{300\cdot\left(1\times10^{-4}\right)}.íFazer as operações no denominador primeiro: vA = 300\cdot 1\times10^{-4} = 3\times10^{-2}=0,03.No numerador: -\bigl(1\cdot(-0,1)\bigr)=0,1.Portanto \rho_{\text{saída}} = \frac{0,1}{0,03} = \frac{10}{3}\approx3,333\ldots\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}.íSe quiser fazer sem calculadora: multiplicar numerador e denominador por 100 10/3.

Passo 4

Verificação de unidades e comentário físico rápido.
  • Checagem de unidades: o resultado tem unidade \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} (ok).
  • Comentário físico (para te deixar confiante): a densidade dentro do tanque inicialmente (a partir de 1\\ \mathrm{MPa} e 20^\circ\mathrm{C}) seria maior (~ 11{,}9\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}), então faz sentido que a densidade no escoamento na seção seja menor que a do tanque em expansão/escoamento para a velocidade dada. O cálculo pedido usa apenas conservação de massa local no instante considerado, e é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova: escrever m=\rho V, derivar, relacionar com \dot m na saída, converter unidades e calcular.

Resposta

\rho_{\text{saída}} = 3,33\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}í

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