1. Tanto a Lei de Fourier da condução quanto a Lei de Fick da difusão de massa podem ser expressas como \mathrm{q}=-\mathrm{k} \cdot \mathrm{A}(\mathrm{dT} / \mathrm{dx}). O que as quantidades \mathrm{q}, \mathrm{k}, \mathrm{A} e T representam:
a) Na condução de calor?

Passo 1

O enunciado dá a lei
\mathrm{q}=-\mathrm{k}\cdot\mathrm{A}\,\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dx}}
e pergunta, especificamente para condução de calor, o que representam as quantidades \mathrm{q}, \mathrm{k}, \mathrm{A} e \mathrm{T}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A fórmula mostrada é a forma unidimensional (uma direção x) da Lei de Fourier.
  • A presença do sinal negativo indica alguma convenção de direção.
  • Não foram dadas condições extras (por ex. variação de k, regime estacionário), então deve-se explicar o significado físico geral das grandezas na condução de calor.

Passo 2

Breve explicação da Lei de Fourier (o que ela diz e por que é útil):
A Lei de Fourier relaciona a taxa de transferência de calor com o gradiente de temperatura. Em palavras: “A quantidade de calor que atravessa uma área por unidade de tempo é proporcional à área e ao quanto a temperatura varia por unidade de comprimento; o calor flui no sentido de temperatura decrescente.” A forma unidimensional é
\mathrm{q}=-\mathrm{k}\cdot\mathrm{A}\,\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dx}}.
Aqui o lado direito tem três fatores multiplicativos: \mathrm{k} (propriedade do material), \mathrm{A} (área disponível) e \mathrm{dT}/\mathrm{dx} (o gradiente de temperatura). O sinal menos garante que, se a temperatura diminui na direção x (isto é, \mathrm{dT}/\mathrm{dx}<0), então \mathrm{q}>0 — calor flui no sentido positivo associado ao calor indo do mais quente para o mais frio.

Passo 3

O que é \mathrm{q} (definição, unidades e diferença de notação):
  • \mathrm{q} é a taxa de transferência de calor através da seção considerada — isto é, potência térmica que atravessa a área A. Em unidades do SI, \mathrm{q} tem unidades de watt: \mathrm{W}.
  • Em muitas fontes se usa também a notação de fluxo de calor por unidade de área, chamada densidade de fluxo de calor e indicada por \dot{q}'' ou q'', com unidades \mathrm{W/m^{2}}. A relação entre ambas é
\mathrm{q}=\dot{q}''\cdot\mathrm{A} \quad\text{com}\quad \dot{q}''=-\mathrm{k}\,\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dx}}.
  • Assim, na fórmula do enunciado \mathrm{q} representa a potência térmica total atravessando a área A.

Passo 4

O que é \mathrm{k} (significado físico, unidades e exemplos):
  • \mathrm{k} é a condutividade térmica do material — uma propriedade física que mede a facilidade com que o material conduz calor.
  • Unidades: \mathrm{W/(m\cdot K)} (watt por metro por kelvin). Significa: quanto maior \mathrm{k}, maior a taxa de calor para um mesmo gradiente de temperatura e mesma área.
  • Exemplos típicos (ordens de grandeza):
    • Cobre: \mathrm{k}\approx 200\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (excelente condutor).
    • Alumínio: \mathrm{k}\approx 200\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (também alto).
    • Água: \mathrm{k}\approx 0{,}6\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Isopor (poliestireno expandido): \mathrm{k}\approx 0{,}03\text{–}0{,}04\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (isolante).
  • Observação prática: em provas normalmente basta declarar que \mathrm{k} é a condutividade térmica e dar a unidade; em exercícios numéricos usam-se valores tabulados.

Passo 5

O que é \mathrm{A} (interpretação geométrica e unidade):
  • \mathrm{A} é a área da seção transversal perpendicular à direção do fluxo de calor (ou, mais informal, “a área disponível por onde o calor passa”).
  • Unidade: \mathrm{m^{2}}.
  • Efeito prático: quanto maior \mathrm{A}, maior a quantidade de calor que pode passar para o mesmo gradiente e material. Importante: \mathrm{A} deve ser a área normal ao vetor fluxo de calor; se a superfície for inclinada, deve-se tomar a componente normal.

Passo 6

O que é \mathrm{T} e \mathrm{dT}/\mathrm{dx} (temperatura, gradiente e unidades):
  • \mathrm{T} é a temperatura, uma função do ponto no espaço (aqui considera-se função de x): \mathrm{T}=\mathrm{T}(x).
  • Unidade: kelvin ( \mathrm{K}) no SI, mas em problemas de condução costuma-se usar ^\circ\mathrm{C} sem problemas porque diferenças de temperatura em K e °C são numericamente iguais. Então \mathrm{dT}/\mathrm{dx} tem unidades \mathrm{K/m} (ou ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}).
  • \mathrm{dT}/\mathrm{dx} é o gradiente de temperatura: a taxa de variação da temperatura por unidade de comprimento na direção x. Seu sinal indica se a temperatura cresce ou decresce com x.

Passo 7

Exemplo prático passo a passo (como fazer numa prova sem pular etapas)
  • Situação: barra homogênea e de seção constante A, espessura (comprimento) L, faces com temperaturas \mathrm{T}_1 (face quente) e \mathrm{T}_2 (face fria). Supondo regime estacionário e \mathrm{k} constante, o gradiente é aproximadamente linear:
\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dx}} \approx \frac{\mathrm{T}_2-\mathrm{T}_1}{L}.
  • Aplicando a lei:
\mathrm{q}=-\mathrm{k}\,\mathrm{A}\,\frac{\mathrm{T}_2-\mathrm{T}_1}{L} = \mathrm{k}\,\mathrm{A}\,\frac{\mathrm{T}_1-\mathrm{T}_2}{L}.
  • Interpretação: \mathrm{q}>0 se \mathrm{T}_1>\mathrm{T}_2 (calor vai de 1 para 2). Em prova faça cada passo: escreva o gradiente, substitua na fórmula, simplifique sinal.
  • Exemplo numérico rápido (ilustrativo): se \mathrm{k}=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, \mathrm{A}=0{,}01\\ \mathrm{m^2}, \mathrm{T}_1=100^\circ\mathrm{C}, \mathrm{T}_2=20^\circ\mathrm{C}, L=0{,}1\\ \mathrm{m},
\mathrm{q}=50\cdot 0{,}01\cdot\frac{100-20}{0{,}1}=50\cdot0{,}01\cdot800=400\\ \mathrm{W}.
  • Esse tipo de passo-a-passo (calcular gradiente, substituir, avaliar sinais e unidades) é o que aplicam nas provas.

Passo 8

Observações finais importantes para não errar na prova
  • A fórmula \mathrm{q}=-\mathrm{k}\mathrm{A}\,\mathrm{dT}/\mathrm{dx} pressupõe condução predominantemente unidimensional, meios contínuos e, na forma simples, \mathrm{k} constante. Se \mathrm{k} varia com x ou o problema é multidimensional, usa-se formas gerais (por ex. \mathbf{q}=-k\nabla T ou integrações).
  • Sempre conferir unidades ao final: \mathrm{W/(m\cdot K)}\cdot\mathrm{m^{2}}\cdot\mathrm{K/m}=\mathrm{W}.
  • Lembre do significado do sinal negativo: calor flui do quente para o frio.

Resposta

\mathrm{q}: taxa de transferência de calor (potência térmica atravessando a área), unidades \mathrm{W}.
\mathrm{k}: condutividade térmica do material (medida da facilidade de condução de calor), unidades \mathrm{W/(m\cdot K)}.
\mathrm{A}: área da seção transversal normal à direção do fluxo de calor, unidades \mathrm{m^{2}}.
\mathrm{T}: temperatura (campo \mathrm{T}(x)); \mathrm{dT}/\mathrm{dx} é o gradiente de temperatura, unidades \mathrm{K/m}.

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