Uma tarefa é feita por 4 digitadores em 15 horas. Se apenas 3 digitadores fizerem a tarefa, em quantas horas terminarão?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, para a gente não se perder:
  • Dados fornecidos:
    • Número de digitadores inicialmente: 4.
    • Tempo que esses 4 digitadores levam: 15 horas.
    • A tarefa inteira corresponde a 1 trabalho completo (ou seja, “fazer a tarefa” = 1 unidade de trabalho).
  • O que o enunciado pergunta:
    • Se apenas 3 digitadores fizerem a mesma tarefa (mesma produtividade individual, trabalhando juntos), em quantas horas terminarão? Ou seja, encontrar o tempo t tal que 3 digitadores fazem a tarefa inteira.

Passo 2

Modelo e ideias básicas (explicação didática do raciocínio que usamos):
  • Cada digitador trabalha a uma taxa constante. Chamo essa taxa de r, que significa “tarefas por hora” feitas por um digitador sozinho. Unidade: \text{tarefa/hora}.
  • Quando pessoas trabalham juntas, as taxas somam. Se há n digitadores com taxa r, a taxa conjunta é R = n\cdot r.
  • Relação fundamental entre trabalho, taxa e tempo:
W = R \cdot t,
onde W é a quantidade total de trabalho (aqui W=1), R é a taxa conjunta ( \text{tarefa/hora}) e t é o tempo em horas.
  • Vamos aplicar esse modelo ao caso com 4 digitadores para achar r, e depois usar r para o caso com 3 digitadores.

Passo 3

Usar os dados iniciais para achar a taxa individual r.
  • Com 4 digitadores trabalhando 15 horas e completando a tarefa inteira W=1, a equação é:
1 = (4\cdot r)\cdot 15.
  • Primeiro calculo 4\cdot 15:
4\cdot 15 = 60.
  • Então a equação é
1 = 60\,r.
  • Isolando r:
r = \frac{1}{60}.
Interpretação: cada digitador sozinho faria \dfrac{1}{60} da tarefa por hora, ou seja, um digitador sozinho levaria 60 horas para completar a tarefa inteira.

Passo 4

Calcular o tempo t quando trabalham 3 digitadores usando a mesma ideia.
  • Taxa conjunta com 3 digitadores é R_3 = 3\cdot r.
  • Queremos t tal que a tarefa inteira 1 seja feita:
1 = (3\cdot r)\cdot t.
  • Substituindo r=\dfrac{1}{60}:
1 = 3\cdot\frac{1}{60}\cdot t.
  • Simplifico 3\cdot\frac{1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}. Então
1 = \frac{1}{20}\, t.
  • Isolando t:
t = 20.
Portanto, com 3 digitadores o tempo é 20 horas.

Passo 5

Checagem alternativa (intuição com “hora-pessoa”):
  • Outro jeito de ver: os 4 digitadores trabalharam 15 horas, então o trabalho total em “hora-pessoa” foi
4 \times 15 = 60\\ \text{hora-pessoa}.
  • Para completar a tarefa precisa sempre dessas 60 hora-pessoa. Com 3 digitadores disponíveis, o tempo necessário é
\frac{60\\ \text{hora-pessoa}}{3\\ \text{pessoas}} = 20\\ \text{horas},
o mesmo resultado — bom sinal que está correto.

Passo 6

Resumo final e incentivo:
  • Resultado encontrado: com 3 digitadores o trabalho termina em 20 horas.
  • Observação prática: esse tipo de problema usa “taxa de trabalho” e a ideia de que taxas somam quando pessoas trabalham juntas. Tá ficando fácil — respira, você consegue!

Resposta

20 horas

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